细分几何偏微分方程方法及其应用

本项目拟研究细分几何偏微分方程方法及其应用。研究内容包括以下几个方面：二阶、四阶、六阶几何偏微分方程细分曲面的构造方法；一套通用性更强、适用性更广的一般化的基于细分的有限元方法； 细分曲面的规整化； 细分曲面上离散微分几何算子的构造及其收敛性研究； 基于细分的有限元方法的误差分析；在计算生物医学领域的推广和应用。曲面造型和设计有许多技术和方法，我们拟发展一种将曲面细分技术和几何偏微分方程方法相结合的曲面设计工具来构造高质量的曲面，其问题本身具有较高的研究价值和良好的应用前景。两者的有机结合，将为设计者提供一种强有力的、新颖独特的曲面造型工具。同时，我们通过构建一套细分几何偏微分方程方法力求在研究内容上做到统一性、系统性和完善性，能够拓展到计算生物医学领域以解决若干问题。

细分技术能提供一种简单高效的方法来构造任意拓扑结构的曲面，同时能满足一定的光滑性要求。几何偏微分方程方法是一项构造高质量曲面的强大技术。. 在本项目中，我们研究了将曲面细分技术和几何偏微分方程方法相结合的曲面设计工具来构造高质量的曲面，其问题本身具有较高的研究价值和良好的应用前景。两者的有机结合，将为设计者提供一种强有力的、新颖独特的曲面造型工具。主要内容包括：构造高质量的二阶和四阶几何偏微分方程细分曲面，进一步建立起一套通用性更强、适用性更广的一般化的基于细分技术的有限元方法，能够统一处理具有任意复杂拓扑结构和任意复杂边界情况的控制网格。在理论研究方面，对这种基于细分格式的有限元方法的误差分析进行了研究，取得了一些好的研究成果。通过4年的刻苦钻研，共发表6篇高水平的学术论文，分别是JCR2区3篇和3区3篇。值得一提的是，基于以上研究成果，我们已经开始探讨将细分技术用于国际上的热点问题---等几何分析。这是我们即将要深入研究的课题。