与分数次积分相关的几何不等式及其最优化问题

Geometric inequalities have been hot topics in analysis, geometry, PDE, probability and combinatorial theory. Among so many geometric inequalities, fractional integral inequalities exceptionally attract attention of analysts, which play an important role in Analysis. The reason is due to their diverse connections to questions regarding the restriction of the Fourier transform, Radon transform and the k-plane transform. Based on the previous fractional integral inequalities, this project aims to study a series of geometric inequalities related to fractional integration. The main contents of this project are as follows: studying some functional versions of inequalities derived from the isodiametric inequality in Euclidean spaces, including bilinear and multilinear determinant form, multilinear product form; investigating the sharp constants and optimisers for these geometric inequalities on Euclidean spaces with Lebesgue measures settings in some cases; studying some related matrix inequalities and their sharp versions. We also study analogues of these inequalities on the Heisenberg group and then determine their optimisers. Meanwhile, we consider analogues of these inequalities above in Lebesgue spaces with mixed norms.

几何不等式一直是分析、几何、方程、概率和组合学研究的热门内容之一，而分数次积分不等式又在分析学中扮演重要角色，因其在Fourier变换限制性猜想、Radon变换和K平面变换等问题中发挥重要作用，多年来一直备受分析学家们的高度关注.本项目将在已有的分数次积分不等式理论基础上，进一步研究与分数次积分相关的一系列几何不等式.受几何极值问题等直径不等式的驱动，本课题将研究等直径的泛函不等式及一般化形式推广，具体包括研究欧氏空间上等直径泛函不等式的双线性型、多线性行列式型、多线性乘积型以及相关的矩阵型不等式，并深入探讨其最优化问题.此外，本项目还将推广研究Heisenberg群上的几何不等式和最优化问题，并研究在混合范数空间中的上述系列几何不等式.

本项目研究与分数次积分相关的几何不等式及其最优化问题，具体包括勒贝格混合范数空间的理论刻画、双线性和多线性分数次积分算子在勒贝格混合范数空间上的有界性、分数次积分算子和分数次极大算子在Morrey空间上的加权不等式以及极大算子在索伯列夫空间上的有界性与连续性。. 受偏微分方程等领域中问题的驱动，混合范数空间的研究得到越来越多的关注，如混合范数空间的小波刻画、极大算子的有界性、奇异积分算子的加权估计等。我们研究了累次弱范数与混合弱范数彼此的关系，给出了在这两个弱范空间上的收敛性、插值公式以及Hölder不等式的全部指标范围。这些工作丰富完善了混合范数函数空间理论，也为混合范数空间后续的研究打下基础。. 分数次积分不等式与调和分析诸多前沿问题密切相关，如傅里叶变换限制性理论、拉东变换以及k平面变换等。我们着重研究了双线性分数次积分算子在混合范数空间上的有界性，即混合范数空间上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式建立。其创新点在于构建混合范数空间上的插值定理，充分运用算子插值理论从而解决了双线性分数次积分不等式成立的充分必要条件。此外，我们研究了Kenig-Stein多线性矩阵型分数次积分不等式，在更一般的矩阵条件背景下，给出了这样的矩阵型积分算子在混合范数空间上有界时关于所有指标的充分必要条件。在端点情形我们还得到了Kenig-Stein多线性矩阵型分数次积分算子的强有界性，这个工作推广了Kenig和Stein他们的结果。. 极大算子不仅在估计目标函数时起到控制函数的作用，而且在偏微分方程、遍历理论等诸多领域发挥重要应用，所以极大算子也成为调和分析近些年核心研究内容之一。我们研究了多线性极大算子的交换子和多线性极大交换子在索伯列夫空间上的有界性和连续性，以及它们在Triebel-Lizorkin函数空间和Besov函数空间上的有界性也是成立的。作为其应用，我们进而给出这两类极大交换子在分数阶索伯列夫空间上的有界性。. 本项目研究结果在SCI期刊上共接收发表12篇学术论文，其中有 Mathematische Annalen、The Journal of Geometric Analysis、IEEE Transactions on Information Theory 等知名SCI期刊。