共形几何中的精确积分不等式及其应用

Paneitz-Branson算子及其推广形式作为共形几何中高阶共形协变算子的典型代表，自1983年以来受到数学家和物理学家的广泛关注。与这类算子相联系的精确Sobolev不等式和Onofri型不等式揭示着Q-曲率的存在性等问题。本项目致力于研究与这类算子相联系的带边紧黎曼流形上带边界项的精确Sobolev不等式及其推广、改进的Onofri型不等式及其最佳常数和极值函数；作为应用，讨论紧黎曼流形上具临界指数的高阶椭圆方程解的存在性问题。我们将通过渐进爆破分析、由局部到整体的分析等技巧建立精确不等式；利用变分法讨论极值函数的存在性，借助对称技巧讨论其对称性，进而得到精确的极值函数、最佳常数；通过在紧流形上建立全局紧性结果等理论，结合算子的共形不变性并使用改进的变分法和临界点理论等证明方程解的存在性。本项目有助于丰富共形几何中高阶共形协变算子的理论，也将为其他学科相关问题的研究提理论依据。

本项目主要研究了紧流形上的积分不等式和高阶椭圆方程解的存在性等问题, 这些研究内容在偏微分方程, 几何分析和调和分析等学科中有着重要的研究意义。我们的研究取得了较好的结果。本项目主要研究结果如下：(1) 我们研究了与本项目相联系的二维空间中的具有负指数的Lp Minkowski 问题的解的存在性问题，并建立了二维空间中负指数的Sobolev不等式。这一问题研究中，我们解决了Chen Wenxiong等人在2006年研究的Lp Minkowski 留下指数p 小于-2时的开问题。 (2) 建立了上半空间中的Hardy-Littlewood-Sobolev(HLS)不等式，并讨论了极值函数的存在性和最佳常数。作为应用，推导了单位球上的带边界的HLS不等式，对数HLS不等式(Onofri型不等式的对偶形式)和p-双调和算子相联系的上半空间上Sobolev迹不等式，并延伸的加权的HLS不等式。(3) 建立全空间上逆向HLS不等式，并讨论了极值函数的存在性和最佳常数, 这一结果弥补了指数p,t小于1时的不等式的空缺。 (4) 建立紧流形上HLS不等式，讨论了极值函数的存在性。并应用这一结果，研究紧流形上的一类新的Yamabe问题。(5) 讨论了对数HLS不等式的极值函数的分类问题，此问题与本项目 Onofri 型不等式的极值函数的存在性相关。(6)研究本项目相关的积分方程以及分数Laplace算子相联系的方程组解的径向对称性和正则性，以及解的不存在性等结果。(8) 证明了带临界项的多调和问题非平凡解，变号解和多重解的存在性。(9)延伸我们的研究技巧，研究了一些次黎曼流形上的退化椭圆算子相联系的积分不等式。