Fredholm积分-微分方程的多尺度快速算法

Integro-differential equation serves as an important mathematical model in the study of physical, chemical and biological phenomena. Developping efficient numerical methods for solving this kind of equations has important theoretical significance and great value in application. In this research, the following two kinds of fast multiscale algorithms for Fredholm integro-differential equations will be studied: (1) For large-scale and high accuracy problems, it requires us to use sufficiently fine grids which demands a large amount of storage space and computational effort, and the condition number of the coefficient matrices are possibly large. To overcome this bottleneck, we will use the multiscale orthonormal bases in Sobolev space to discrete the integro-differential equation which can optimize the algebraic structure of the resulting linear systems, then we will develop a multilevel augmentation method for fast solving the linear systems. (2) Considering that the integral term occupies a large amount of computational time in the discretization process, we will choose multiscale orthonormal functions in L^2 space as the basis. Because the vanishing moments of this bases and the compactness of the integral operator lead to “numerical sparsity” of the resulting matrix, we will propose a truncation strategy to fast discrete the equation and obtain resulting equations with sparse coefficient matrix. Then, a multiscale discontinuous Galerkin method will be developed. The research of this project will further enrich the computational theory of the multiscale methods.

积分-微分方程是广泛应用于物理、化学和生物等领域的一类重要数学模型，研究其高性能数值解法具有重要的理论意义和应用价值。本项目拟研究Fredholm积分-微分方程的两种多尺度快速算法：(1)针对大规模、高精度问题在求解离散化所得方程组遇到的存储量大、条件数高和计算时间长的瓶颈问题，我们拟采用Sobolev空间上的多尺度正交基来离散化方程，以优化方程组的代数结构，并在此基础上设计快速求解离散化方程组的多层扩充法。预期算法以准线性计算复杂度得到最优收敛阶。(2)考虑到积分项在离散化过程中占据大量的计算时间，我们将采用L^2空间上的多尺度正交函数作基底，利用基底的消失矩性和积分算子的紧性所带来的离散化系数矩阵的“数值稀疏性”，给出截断策略，实现方程的快速离散化并获得系数矩阵稀疏的代数方程组，发展求解该方程的多尺度间断Galerkin快速算法。研究成果将进一步丰和发展多尺度数值计算方法的理论。

积分-微分方程是广泛应用于物理、化学和生物等领域的一类重要数学模型，研究其高性能数值解法具有重要的理论意义和应用价值。本项目研究了Fredholm积分-微分方程多尺度快速算法，主要研究内容有：（1）基于传统的Galerkin方法，我们采用了Sobolev空间上的多尺度正交基来离散化方程，建立了求解该方程的多尺度Galerkin算法，理论与数值结果证明，算法稳定，即离散化所得线性方程组的系数矩阵一致有界，并获得最优收敛阶；(2)考虑到大规模和高精度问题，离散化之后需要求解大规模线性方程组，需要消耗大量的内存空间和计算时间，我们采用多尺度正交基底，利用基底的多尺度特性带来的离散化所得线性方程组的层次结构，设计了快速求解线性方程组的多层扩充算法，理论与数值结果证明了该算法以几乎线性的计算复杂度达到了最优收敛阶。本项目主要特色在于：利用多尺度基底的层次性，优化了离散化后所得代数系统的结构，由此设计出来的多层扩充算法从根本上提高了方程的求解效率；另外，多尺度基底的良好特性，降低了方程组系数矩阵的条件数，提高了算法的稳定性。在项目资助下，共发表论文8篇，其中SCI收录7篇，项目研究成果进一步丰富和发展了多尺度数值计算方法的理论。