Burgers方程的多尺度快速算法研究

The Burgers equation is an important evolutional equation which is applied in a lot of fields. To develop high performance numerical methods for solving the equation is of important theoretical significance and great application value. Its numerical solutions normally require solving the nonlinear algebraic system generated by discretization. When high approximation accuracy is desired, it requires one to use a sufficiently small time-step and sufficiently fine grids. Thus it demands a large amount of storage space and computational effort. This becomes a bottleneck problem for numerical solutions of the Burgers equation. To overcome this difficulty, we will use the multiscale Galerkin method to discrete the spacial variable. At each time step, we will develop the multilevel augmentation method for fast solving the corresponding nonlinear systems, and give the theoretical analysis for the convergence of the method. The proposed algrothim will obtain the optimal oder of convergence with quasi-linear computational complexity. Another difficulty for numerically solving the Burgers equation is that in the case of high Reynolds number local shock waves may appear in the solution, which may affect the accuracy. We will combine the adaptive multiscale decomposition and the multilevel augmentation method to deal with this problem. In the procedure of solving the equation, we will take full advantage of the strong expression of the multiscale basis and thoroughly dig out the multilevel property of the resulting algebraic system to construct more stable and efficient algorithms. The researches of this project will enrich the theory of multiscale methods, and provide a reference for numerically solving other nonlinear evolutional equations.

Burgers 方程是广泛应用于众多领域的一类重要的非线性发展方程，研究其高性能数值解法具有重要的理论意义和应用价值。数值求解Burgers方程，需要处理离散化后的非线性代数系统，对大规模、高精度问题而言，将会遇到存储量大、计算复杂度高的瓶颈问题。针对这一困难，本项目拟采用多尺度Galerkin方法来离散化Burgers方程的空间变量，在每个时间层上，提出快速求解离散化所得非线性方程组的多层扩充算法，预期算法以准线性的计算复杂度得到最优收敛阶。在此基础上，针对高雷诺数Burgers方程的解局部出现激波的特性，利用多尺度基底对函数的极强表现力，并充分挖掘多尺度离散所得代数系统的多尺度层次性，研究将空间变量自适应多尺度分解与多层扩充法相结合的快速算法，以提高求解的稳定性和效率。研究成果将进一步丰富多尺度数值计算方法的理论，并为其它类型的非线性发展方程的数值计算提供借鉴。

Burgers方程是一类重要的非线性发展方程，研究其高性能数值解具有重要的理论意义和应用价值。由于非线性性，传统数值方法求解该问题时，需要消耗巨大的存储空间和时间成本。针对这一瓶颈问题，本项目发展了求解Burgers方程的多层扩充快速算法。具体而言，我们利用Sobolev空间上的多尺度正交基离散方程的空间变量，用Crank-Nicolson方法离散时间变量。根据Reisz表示定理，将每个时间层上的方程视为一个第二类的非线性算子方程，然后构造多层扩充算法进行快速求解。该算法先在固定初始层上求出一个较粗的近似解，然后将高层部分的“细节”逐层添加上去加以校正，最终获得符合精度要求的近似解。由于算法只需求解固定初始层上的非线性方程组，因此存储空间和计算复杂度大大减少。本项目对算法进行了理论分析，获得了H1误差估计，证明了该算法具有最优收敛阶。数值实验验证了理论分析结果，从数值计算时间来看，该算法具有几乎线性的计算复杂度。其结果与研究目标一致。研究成果进一步丰富了多尺度数值计算的理论，并为其他类型的非线性发展方程的数值计算提供借鉴。项目组成员在天元基金的资助下发表五篇论文，分别发表在《Applied Mathematical Sciences》,《Applied Mathematics Letters》,《Journal of Engineering Mathematics》,《2013 International Conference on Computational and Information Sciences》及中山大学学报自然科学版，其中两篇SCI，一篇EI，一篇国外核心，一篇国内核心。