紧黎曼面上的一形式与奇性可约椭圆度量

Given finitely many points and the corresponding angles on a compact Riemann surface, does there exist a singular elliptic metric on the surface with the corresponding conical angles at the given points? It is a classical and open problem with a history of more than 100 years..From the algebraic viewpoint, the applicant and his collaborators divide singular elliptic metrics into two classes --- reducible metrics and irreducible ones. Moreover, we reduce the problem about reducible metrics into that of (meromorphic) 1-forms (with at most simple poles). On the other hand, mathematicians have built a relatively complete theory on moduli of holomorphic 1-forms on compact Riemann surfaces since their connections with interval exchange transformations and billiards on rational polygons in Dynamical Systems were discovered more than 30 years ago. The applicant plans to investigate the non-trivial relationship among complex structures of compact Riemann surfaces, the poles and their residues and the zeroes of their multiplicities of 1-forms living on the Riemann surfaces and to study the moduli of 1-forms satisfying suitable conditions. If the plan were completed, we would not only obtain the necessary and sufficient condition for the existence of reducible elliptic metrics and make a clear understanding of moduli of reducible metrics, but also try to generalize partially the theory of holomorphic 1-forms to 1-forms.

在紧黎曼面上给定有限个点与相应的角度， 是否存在于给定点具有相应锥角度的奇性椭圆度量？这是一个有着一百多年历史，但仍未解决的经典问题。从代数的角度出发，申请人与合作者将奇性椭圆度量分成可约和不可约两类, 并且发现可约椭圆度量问题可以约化为(仅有单极点的亚纯)一形式的研究。另一方面，三十多年前人们发现紧黎曼面上的全纯一形式的模空间与动力系统中的区间交换映射以及有理多边形上的桌球运动之间的联系以来，数学家们在这个领域已建立比较完整的理论。我们计划探究紧黎曼面的复结构与该黎曼面上的一形式的极点及其留数，零点及其重数之间的非平凡关系，研究满足适当条件的一形式的模空间的性质。通过完成这项研究，我们不但可以得到可约椭圆度量存在的充分必要条件与清晰理解其模空间，还可以尝试将全纯一形式的理论推广到一形式。

在紧黎曼面上给定有限个点与相应的角度, 是否存在于给定点具有相应锥角度的椭圆锥度量？ 这是一个有着一百多年历史的经典公开问题. 负责人与合作者先将椭圆锥度量分成可约和不可约度量两类， 再将可约度量约化成酉一形式, 将不可约度量约化成两个线丛的稳定扩张的研究, 并取得了如下新进展...1. 观察到酉一形式一定是 Jenkins-Strebel 微分, 以它的度量图为工具, 得到紧黎曼面上可约度量的锥角度满足的充分必要条件, 并发现该条件在黎曼面的亏格等于零或者大于零时具有不同的表达形式...2. 得到可约度量的谱刻画：椭圆锥度量可约当且仅当它的拉普拉斯算子的全纯自共轭扩张具有特征值为2的实值特征函数...3. 得到一类比可约度量略广的准可约度量与具有纯虚数周期的二次微分之间的对应, 证明所有具有双极点的 Strebel 二次微分都有纯虚数周期，从而利用这种 Strebel 微分及其度量图构造出一类新的准可约度量...4. 在紧黎曼面上利用稳定向量丛理论, 构造出从两个线丛的稳定扩张的模空间到具有整角度的不可约度量的模空间的典范满射, 并利用之在亏格大于一的紧黎曼面上证明了关于椭圆锥度量的新存在性定理。..负责人与合作者还在奇异双曲度量，奇异平坦度量与奇异特殊凯勒结构这三个相关课题上取得了一些新进展.