带锥性奇点的黎曼曲面上的几何与分析

Recently, mathematicians pay more attentions on Riemann manifolds with conical singularities. This program plans to begin from the prescribing Gauss curvature problem on compact Riemann surfaces with conical singularities, study the geometric structures of such surfaces and analysis problems on them. We plan to study from the following four aspects: 1. Prescribing Gauss curvature problem on compact Riemann surface with conical singularities; 2. Trudinger-Moser inequalities and their applications on non-compact Riemann surfaces with conical singularities; 3. Prescibing curvature equation on the whole plane; 4. Toda systems on compact Riemann surfaces with conical singularities and high dimensional Riemann manifolds with conical singularities. Research on these problems will make us more clear about the geometric structures of Riemann manifolds with conical singularities, and supply as tools of the studying on nonlinear analysis on Riemann manifolds with conical singularities.

近年来，带锥性奇点的黎曼流形上的几何与分析问题引起了国内外大量数学家的重视。本项目拟从带锥性奇点的紧黎曼曲面上的预定Gauss曲率问题出发，探究带锥性奇点的黎曼曲面的几何机构与其上的分析问题。项目分四个方面进行研究：一. 带锥性奇点的黎曼曲面上的预定Gauss曲率问题；二. 带锥性奇点的非紧黎曼曲面上的Trudinger-Moser不等式及其应用；三. 全平面上预定曲率方程的研究；四. 带锥性奇点的紧黎曼曲面上的Toda系统以及带锥性奇点的高维黎曼流形上的预定曲率问题。这些问题的研究会让我们更加清楚地认识带锥性奇点的黎曼流形的几何结构，并为研究带锥性奇点的黎曼流形上的非线性分析提供依据。

在本项目中，我们系统研究了两类课题：（一）带奇性权重的Trudinger-Moser不等式及其极值函数的存在性问题；（二）紧黎曼曲面上的Kazdan-Warner问题。在Trudinger-Moser不等式方面，我们证明了： 1. 二维有界区域上带奇性权重的Adimurthi-Druet型的临界Trudinger-Moser不等式及其极值函数的存在性；2. 带锥奇点的紧黎曼曲面上的Adimurthi-Druet型的临界Trudinger-Moser不等式及其极值函数的存在性；3. 紧黎曼曲面上带奇性权重的弱的临界Trudinger-Moser不等式。在Kazdan-Warner问题上，丁伟岳等人给出了方程\Delta u=8\pi-8\pi he^u在h大于0时可解的一个充分条件，我们证明了这个条件在h大于等于0但不恒等于0时也成立，我们还研究了更一般的情形的Kazdan-Warner问题的可解性。此外，我们还研究了一般维数的双曲空间上带奇性的Trudinger-Moser不等式和一类非线性抛物方程正解的椭圆型梯度估计。