群连通度，模定向和图的可收缩结构

The proposed research is to study the problems related to nowhere zero flows, group connectivity and mod (2s+1)-orientation of graphs and matroids, aiming at Tutte's 3-flow conjecture and 5-flow conjecture, Jaeger et al’s on group connectivity of graphs, Jaeger's conjecture on mod (2s+1)-orientations of graphs. Motivated by the recent counterexample given by Han, Li, Wu and Zhang, and by the additive bases problem of Alon, Linal and Meshulam, we have conjectured that every graph with at least (2s+1) edge-disjoint spanning trees must have a mod (2s+1)-orientation. A special case of this conjecture states that every graph with at least 3 edge-disjoint spanning trees has a nowhere zero 3-flow. In the proposed project, we will continue our research in these areas and will make positive progresses towards the above mentioned conjectures. In particular, we will focus on 3-flow problem on graphs and signed graph, aiming at solving Tutte’s 3-Flow Conjecture completely.

本项目将以图的处处非零流，群连通度和模(2s+1)-定向为主要研究内容，旨在解决Tutte的3-流和5-流猜想，以及Jaeger等人关于图的群连通度和模(2s+1)-定向的猜想。由于最近Han, Li, Wu, Zhang等人找出了Jaeger模(2s+1)-定向的猜想的一些反例，并受到Alon, Linal和Meshulam提出的可叠加基的启发，我们猜想每个有（2s+1）个边不交支撑树的图都有模(2s+1)-定向。这个猜想的特殊情况是每个有3个边不交的支撑树的图都有处处非零的3-流。在本项目中，我们将对以上所述的猜想进行深入的研究，特别的，我们将会着重研究图和符号图上的3-流问题，力求解决3-流猜想。

本项目发表论文43篇。.我们的主要目标是 Tutte 的 3-流猜想和 5-流猜想以及 Jaeger 关于图的模 (2s+1)-定向的猜想。作为Tutte 3-流猜想的推广，Jaeger提出了每个4p-边连通的图都有一个模(2p+1)-定向的猜想。在[SIAM J. Discrete Mathematics, 32(1), pp 29-43, 2018]中，我们证明了Jaeger的模定向猜想成立等价于它在简单二部图上成立，并研究了一些简单二部图的强连通性。我们还证明了一个简单图G，在顶点和最小度满足一定的条件下，G或G的补图是强连通的。另外，我们在[Discrete Applied Math., 247, pp 14-22, 2018]一文中证明了对于任何一个大于等于2的整数t, 存在有限个不存在模(2p+1)-定向的图组成的集合F(p,t), 使得每个独立数至多为t的图G或者有模(2p+1)-定向，或者可收缩至F中的一个图。.Esperet, de Joannis de Verclos, Le和Thomasse在[SIAM J. Discrete Math., 32(1), pp 534–542, 2018]中提出了图G的(f,b;p)-定向的概念。 他们指出，这个问题和图的模p定向包括Tutte的处处非零3-流猜想有的密切的关系。在论文[European Journal of Combinatorics, 89, 2020]中，我们证明了当图G的边连通度满足一个关于图的欧拉亏格g和素数p的不等式的时候，对于任意的f和b，图G有一个(f,b;p)-定向。.Jaeger猜想每一个9-边连通的重图都有一个模5定向，这个猜想可以直接推出Tutte的5-流猜想。在论文[Discrete Applied Mathematics 260, pp 155–163, 2019]中，我们研究了满足一定度条件的图的模5定向的问题并给出了图有模5定向关于度序列的一个充要条件。.在论文[Discrete Mathematics 342, pp 1–9, 2019]中，我们研究了边连通度和最大边不交支撑树的个数之间的关系，证明了每一个g-边连通，essentially h-边连通的图G有至少k个边不交的支撑树，如果g大于或等于k+1, 且h大于或等于g^2/(g-k)-2。