不适定Hammerstein算子方程的多尺度快速算法

不适定问题与反问题的研究是数学和系统科学研究中的一个前沿领域，出现于众多数学物理应用领域中,其解法研究尤其是高性能数值方法对于科学和工程计算具有重要的理论意义和应用价值。本课题研究不适定Hammerstein算子方程自适应、多尺度的正则化方法及其相关的快速算法。重点研究多层扩充快速算法和多层迭代算法，基本思想是借助传统的投影方法与多尺度分析，结合矩阵压缩技术，将非线性算子分解为低频部分与高频部分,求解方程时，仅在固定的低频部分求解，而高频部分用于误差补偿。同时探讨应用快速算法过程中Hammerstein算子所应满足的一系列分析性质。这种算法能保持高精度同时计算复杂度仍是拟线性的。我们还研究多尺度近似正则算子的构造、自适应算法的设计、最优正则参数的选取。

本课题研究不适定问题的快速方法。我们先研究一般线性不适定问题的多尺度快速算法，将Tikhonov正则化方程转化为等价的耦合方程组，并对耦合方程组提出快速多尺度配置方法，此种处理方法避免了计算两个积分算子的复合算子，计算复杂度降低为拟线性复杂度，这是高维问题计算的新算法。接着我们研究了求解变型的Hammerstein积分方程的多层扩充算法，并将其推广到非线性项满足二阶导数连续的情况。然后结合矩阵压缩技术，研究了一类非线性不适定单调Hammerstein算子方程自适应、多尺度的多层扩充法。在一定条件下， 得到正则解的收敛性、最优收敛率，并给出最优正则参数的选取。此外，我们还对Helmholtz方程数值求解法、有限体积法等进行了研究。