随机吸引子的若干问题

Infinite-dimensional random dynamical systems is now an important and hot topics in the field of international dynamical systems. This project will mainly study the following several problems concerning the attractor of infinite-dimensional random dynamical systems: the dimensional estimate of random attractor, construction of random exponential attractor and establishing some new theoretical results and methods; the random attractors and their geometric properties for the stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motion and non-Gauss stochastic processes; and the random attractors of stochastic lattice systems and stochastic wave equations; the structure of the trajectories on the random attractors. The realization of this project will enrich the theory of random dynamical systems and applications.

无穷维随机动力系统已是当今国际动力系统及其相关领域研究的热点和前沿课题。本项目主要研究无穷维随机动力系统的吸引子的若干问题：研究随机吸引子的维数与随机指数吸引子的构造，建立新的理论结果和方法；研究分数布朗运动和非高斯随机过程驱动的随机发展方程的吸引子及其几何性质；研究具有重要背景的随机格点系统和随机波动方程等系统的吸引子；研究随机吸引子上的轨道结构等。本项目内容的实现将丰富随机动力系统的理论及其应用。

随机吸引子的存在性已有不少结果, 而其几何性质的研究尚少。本项目主要研究随机吸引子的维数估计与随机指数吸引子的构造. 在项目的资助和课题组所有成员的共同努力下，研究工作进展顺利，圆满完成了原计划的研究内容和研究目标, 取得较好成果。结合非自治系统的核截面簇的维数估计方法、细心分解状态变量、迭代法与遍历定理，在无穷维非自治随机动力系统的随机吸引子的分形维数的上界估计上建立了新的充分条件，特别得到了对于某些随机偏微分方程的吸引子易于验证的充分条件，并成功应用于白噪声驱动下的随机反应扩散方程、随机波动方程、随机FitzHugh-Nagumo方程和随机Boissonade方程的随机吸引子的分形维数的上界估计等；找到了无穷维非自治随机动力系统的随机指数吸引子的构造方法及其存在的充分条件, 并应用于随机无穷格点系统、无界区域上的随机反应扩散方程以及有界区域上的随机波动方程等系统的随机指数吸引子的存在性．同时研究了非自治随机具记亿项的波动方程、无界区域上非自治随机强阻尼波动方程、非自治随机Boussinesq 格点系统、非自治随机sine-Gordon 与部分耗散格点系统的随机吸引子的存在性及其上半连续性,以及非自治二阶、Boussinesq 格点系统、非自治Boissonade系统的拉回和一致指数吸引子的存在性等。在国内外学术刊物上发表论文27篇, 其中国际SCI刊物上的论文20篇;有1位博士研究生与6位硕士研究生的学位论文来源于此项目。