随机非线性发展方程的随机吸引子研究

In this progress, we will study the random asymptotic behavior of solutions for the stochastic nonlinear evolution equations by using the theories and methods of the nonlinear functional analysis, the partial differential equations and the infinite dimensional dynamical systems. For the concrete stochastic suspension bridge equations, the stochastic beam-string coupled dynamical systems, the stochastic plate equations and the stochastic non-classical diffusion equations, respectively, perturbed by the white noise, we mainly investigate the existence of the random attractors, regularity and the asymptotic structure of the solutions under the different conditions on both the bounded domain and the unbounded domain. We will design and develop the new methods verifying compactness to the different equation. We will try our best to obtain the more detail and optional results for the plate equations based on the pioneer results. To the limit of our knowledge, there has no any results about the stochastic suspension bridge equations and the beam-string coupled systems. Therefore, we will investigate systematically these problems. Besides, we will extend to study the asymptotic behavior and asymptotic structure of solutions for the deterministic nonlinear evolution equations when the coefficient parameter depends on the time. We believe that it is important and significant to develop and extend both the theories and applications of the infinite dimensional dynamical systems.

本项目将运用非线性泛函分析、偏微分方程理论及随机无穷维动力系统的思想和方法研究在噪声驱动下的非线性随机发展方程解的随机渐近性。针对具体的随机吊桥方程、梁-弦耦合系统、随机Plate方程及非经典反应扩散方程，主要研究在噪声驱动下这些方程分别在有界域和无界域上整体解的随机吸引子的存在性、正则性以及解的渐近结构。研究过程中，系统地考虑各类方程在不同条件和情况下整体解的随机渐近性，针对具体方程设计和发展新的紧性验证方法；对诸如Plate方程等已存在随机吸引子的问题，力图建立更加细致的研究结果；对目前还未见任何研究结果的随机吊桥方程、梁-弦耦合系统等问题，从具体到一般，进行系统地研究。除此以外，本项目将继续研究确定非线性发展方程当系统的参数与时间有关时解的渐近性及渐近结构。这些问题的研究，无论从理论上还是从应用上，都会对无穷维动力系统的发展起到积极的推动作用。

本项目运用非线性泛函分析、偏微分方程、无穷维动力系统以及随机动力系统的思想和方法，在不断查阅和学习最新的研究成果的基础上，系统地研究了在加性噪声和乘积噪声驱动下的非线性随机发展方程分别在有界域和无界域上解的随机渐近性；具有时间依赖衰退函数的耗散板方程、非经典反应扩散方程分别在有界域和无界域上时间依赖吸引子的存在性、正则性以及渐近结构，有界域上指数吸引子的存在性；具有不同时滞的一维和二维吊桥方程吸引子的存在性。获得了无界域上验证具有时间依赖系数的耗散偏微分方程紧性的压缩函数方法以及有界域上证明指数吸引子存在性的一个抽象结论，并将这两个抽象结论应用于板方程和非经典反应扩散方程，得到了我们想要的结果。值得一提的是，这些结果对其它具有耗散结构的发展方程也是有用的。我们的研究不仅完善了无穷维动力系统和随机动力系统的抽象结果，而且对后续的研究提供了基础。除此之外，我们也获得了一些相关问题，如Swift-Hohenberg方程，Benjamin-BonaMahony方程，Boussinesq方程，带有奇异振动外力项的非自治Kuramoto-Sivashinsky方程全局吸引子、一致吸引子或指数吸引子的存在性。初步获得了具有动态边界条件的记忆型经典反应扩散方程全局吸引子的存在性，为后面的研究提供了基础。