几类非自治随机泛函微分方程的随机吸引子问题

The stochastic functional differential equation is an important branch in the field of differential equations. As the composition and generalization of the stochastic differential equation and the functional differential equation, it characterizes the feedback due to delays, as well as the effects of stochastic perturbations, and hence be widely used in the system modeling of natural science and engineering technology. The random attractor of stochastic functional differential equations is one of the important topics in the research of stochastic dynamical systems. This project aims to study the existence of random attractors for types of non-autonomous stochastic functional differential equations by employing the theory of stochastic dynamical system and methods of nonlinear analysis. We firstly discuss a type of semi-linear stochastic functional differential equations. In cases of finite and infinite delay, we prove the existence of random attractors and explore the feedback influence on the dynamic behaviors. Then we study a type of degenerate quasi-linear stochastic functional differential equations. With respect to different forms of random perturbations, we give some sufficient conditions to guarantee the existence of random attractors and obtain a new framework for studying the quasi-linear stochastic functional differential equations. Based on these, we continue the work for singular quasi-linear stochastic functional differential equations, and analyzing the similarities and differences of research methods and techniques between cases of singular and degenerate. The development of this work will form a research approach and system with certain characteristics and enrich the theory of stochastic differential equations.

随机泛函微分方程是微分方程领域的一个重要分支，它作为随机微分方程与泛函微分方程的综合与推广，既考虑了滞后因素又兼顾了随机扰动的影响，在自然科学和工程技术领域的系统建模中有着广泛应用。随机泛函微分方程的随机吸引子是随机动力系统研究中的重要课题之一。本项目旨在综合运用随机动力系统理论和非线性分析的方法研究几类非自治随机泛函微分方程随机吸引子的存在性。首先讨论一类半线性随机泛函微分方程，在有限时滞和无穷时滞两种情形下，证明随机吸引子的存在性，探索时滞对系统动力学行为产生的影响；然后研究一类非奇异拟线性随机泛函微分方程，针对不同形式的随机扰动，给出其随机吸引子存在的充分条件，获得研究拟线性随机泛函微分方程的新框架；以此为基础，继续对奇异拟线性随机泛函微分方程展开研究，并分析与非奇异情形下研究方法与技巧的异同之处。通过本项目的开展，逐步形成有一定特色的研究思路和体系，丰富随机微分方程理论。

无穷维微分方程因其相空间的无穷维数使得方程的的动力学行为丰富且复杂，从而其研究过程也变得非常困难。带有时滞的泛函微分方程和偏微分方程作为两类重要的无穷维系统，在数学、物理、生物等领域的系统建模及实际问题中都有广泛的应用，因此，在本项目的执行过程中，从项目申请书最初的研究内容入手，通过具体研究、遇到困难、并及时调整思路和研究内容，最终在以下三个方面做出了几个结果：1、利用强连续半群理论研究了一类带有时滞的半线性发展方程全局吸引子的存在性，该结果减弱了原有的条件，使得适用范围更加广泛；2、利用KAM理论研究了几类具体的偏微分方程解的动力学行为，主要包括解的周期性、拟周期性以及它们的稳定性，其中在非自治Kdv方程和高阶偏微分方程的研究过程中遇到并克服了很多困难；3、基于研究过程中需要通过不等式来获得相应的估计，受此启发，利用分析的方法，研究了几类函数不等式，得到了几个有用的结果。