随机泛函微分方程的随机吸引子和内部随机吸引子

As the composition and generality of stochastic differential equations and determined functional differential equations, stochastic functional differential equations characterize the feedback due to delays, as well as the effects of stochastic perturbations. They have been widely used to construct models in fields of science and engineering such as physics, biology, machine, finance and so on. Therefore, it is necessary to study the dynamical behavior of such equations. One of the powerful tools to investigate the long time dynamical behavior is attractor. Accordingly, the aim of this project is that:1)by using the theory of integral semigroup and stochastic dynamical system, we study the existence of random attractors for stochastic functional differential equations;2) motivated by the theory of interior global attractors for determined dynamical systems, we establish the existence theory of interior random attractors for stochastic dynamical systems; then, based on it, we further investigate the existence of interior random attractors for stochastic functional differential equations;3)to apply the above theory, we consider the age-structured population model with stochastic influence and give conditions for the existence of an interior random attractor.

随机泛函微分方程作为随机微分方程与确定的泛函微分方程的综合与推广，既考虑了滞后因素又兼顾了随机扰动的影响，广泛应用于物理、生物、机械、金融等科学与工程领域的系统建模中，因而对其动力学行为的研究非常有必要。吸引子是研究系统长时间动力学行为的重要工具之一，因此本项目对以下问题展开研究：1)利用积分半群和随机动力系统理论，研究随机泛函微分方程随机吸引子的存在性；2)在确定动力系统内部吸引子理论的启发下，建立随机动力系统内部随机吸引子的存在理论； 然后利用该理论继续研究随机泛函微分方程内部随机吸引子的存在性；3)作为对上面所发展理论的应用，研究受随机因素影响的年龄结构模型，给出内部随机吸引子的存在性条件.

随机泛函微分方程兼顾了滞后现象和随机因素，在实际的系统建模中更加接近现实，得到了广泛应用，因而对其动力学行为的研究也引起了广大学者的关注。然而随机泛函微分方程作为无穷维动力系统，决定了其动力学行为的复杂性，目前人们对于该方面的研究主要针对某些具体方程。因此，研究具有一般形式的随机泛函微分方程的全局动力学行为是一个很有意义的课题。按照项目计划书，我们解决了两大方面的问题，基本达到了项目的预期目标。1，以经典的确定性动力系统全局吸引子理论为基础，考虑带有随机扰动的抽象泛函微分方程随机吸引子的存在性，分别在有限时滞和无穷时滞两种情形下给出了这类方程随机吸引子存在的充分条件，并在理论上进行了严格证明。2，在此基础上，刻画了随机动力系统内部随机吸引子的概念，给出了随机动力系统内部随机吸引子的存在定理和详细论证。