马尔科夫体制转换金融保险模型中的随机控制问题研究

This project is based upon NFSC research project: Ruin and stochastic control problems in the Markov regime-swtiching finance and insurance models. We aim at a deeper investigation of Markov regime-switching financial and risk models through the accumulation of stochastic process, stochastic analysis and stochastic control theory. As it to the problems of expected utility maximization from terminal wealth and/or consumption, we apply techniques such as dynamic programming, stochastic maximum principle, measure transform and duality theory. Secondly, on the basis of Backward Stochastic Differential Equation theory, we are concerned with stochastic recursive utility portfolio optimization problem in the context of both Markov reigme-switching diffusion models and jump-diffusion models. Further, we study the optimal portfolio selection problem from three aspects：1. Mean-variance portfolio selection problem; 2.Portfolio selection problems in Markov regime-switching jump-diffusion market model with defaultable securities; 3. Roy’s Safety-First principle. The project which focus on many an innovative topic is committed to integrate the research of stochastic analysis, backward stochastic differential equations, stochastic control and mathematical finance, simultaneously, to promote the development of stochastic optimal control and finance-insurance field.

本项目将在青年基金项目关于马尔科夫体制转换金融保险模型研究的基础上，拟利用随机过程分析理论及随机控制理论深入拓展研究马尔科夫体制转换金融保险模型下的相关随机控制问题。我们首先将通过动态规划原理、随机极大值原理、等价鞅测度变换理论、随机控制对偶理论解决马尔科夫体制转换金融保险模型中的期望终端财富和消费效用最大化。其次,我们还将利用倒向随机微分程理论研究带跳和无跳马尔科夫体制转换金融市场下的递归效用随机最优控制问题。再者，我们将从以下三个方面研究马尔科夫体制转换模型下的最优投资组合问题：1.均值-方差投资组合问题；2.有违约证券资产的马尔科夫体制转换跳扩散金融市场模型下的投资组合问题；3.以Roy提出的安全第一准则方法。该项目研究内容是金融和保险中随机控制问题的最新课题，是倒向随机微分方程、随机控制以及数理金融领域的交叉研究，本项目的研究将促进随机最优控制，数理金融与精算等其他理论的发展。

本项目利用随机过程与分析、随机控制、倒向随机微分方程及金融数学等要相关理论充分研究了金融保险模型中的破产、定价与随机最优控制等相关问题。本项目利用动态规划原理、随机二次控制理论、随机极大值原理解决了马尔科夫体制转换模型下的以期望效用最大化为目标的局部信息最优再保险与投资组合问题、以均值-方差准则为目标的资产负债最优投资组合问题以及递归效用随机最优控制问题；利用HJB方程理论解决了带违约风险资产及模型不确定情形下的鲁棒最优再保险与投资组合问题、CEV模型下的均值-方差最优投资组合问题以及均值-方差保费准则下的最优再保险与投资组合问题；利用非线性数学期望理论解决了G-布朗运动驱动的随机控制问题的随机极大值原理并应用于处理金融市场下的鲁棒最优投资组合问题；利用随机过程与分析相关理论解决了离散时间半马尔科夫风险模型的生存概率及Gerber-Shiu函数问题；利用随机控制相关理论解决了常利率框架下有无再保险两类不同情形下的最优分红问题以及有两个再保险公司情形下的最优再保险与带固定交易费用的最优分红问题；利用重尾分布与随机过程的相关知识解决了常利率与相依索赔结构情形下二维以及多维风险模型破产概率的精确渐近近似，同时也解决了在保险风险与金融风险具有相依关系下破产概率的渐近公式以及带布朗运动扰动模型下有限时间破产概率的一致渐近表达式；利用等价鞅定价原理解决了巨灾风险期权以及自激励随机利率模型下的债券与期权定价问题。. 本项目的研究内容均为金融保险领域备受关注的问题, 是随机分析与随机过程、随机控制与数理金融领域的交叉研究。本项目的研究成果将进一步促进随机最优控制、数理金融与精算等学科的理论与应用研究的发展。