非光滑动力系统的全局分岔与混沌运动的统计特性

By methods of topological dynamical system, singularity and operator theory ,we will investigate the global bifurcations , the structures and the statistical properties of chaotic motions in nonsmooth dynamical system(NSDS).The singularities in the map of Nordmark’s type will be explored ,and the roles of the singularities playing in global bifurcations will be revealed. The Smale horseshoe in the map of Nordmark’s type will be found. The theorem of Neimark-Sacker bifurcation for NSDS will be proven . The symbolic dynamics and the kneading theory for one or two dimensional nonsmooth maps will be constructed to describe the processes of folding and splitting of stable and unstable manifolds and to show the evolutions of subshifts of different types in symbolic spaces. The fractal structures for the basin of a stranger attractor will be studied .The Perron-Frobenius operator for one or two dimensional nonsmooth maps will be investigated, the conditions for the existence and uniqueness of invariant measure will be given. The relationships between the ergodicities and topological entropy, Liapunov exponent or Hausdorff dimension will be discussed, and the statistical properties of chaotic motions will be shown.

通过拓扑动力系统、奇异性理论和算子理论，研究非光滑动力系统的全局分岔以及混沌运动的拓扑结构和统计特性. 分析非光滑动力系统中的grazing轨道，描述 Nordmark型映射的奇异性及在全局分岔中的作用,确定该映射中的Smale马蹄．证明非光滑动力系统Neimark-Sacker分岔定理．讨论两维非光滑映射的符号动力学和揉搓理论，揭示平面非光滑映射的稳定与不稳定流形折叠和分裂的机理，以及各类子移位的演变过程．刻画奇异吸引子的吸引域的分形结构．讨论一维和两维非光滑映射的Perron-Frobenius算子的性质，证明不变测度的存在性和唯一性；探讨遍历性与拓扑熵﹑Liapunov指数和Hausdorff维数之间的关联性，刻画各类混沌集的统计特性．

结合碰撞振动中的擦切现象，研究非光滑平面映射(Lozi和Normark)的基本性质，特别是奇异性.构造了它们的吸引域，分析了奇异吸引子的双曲性，用符号动力学描述其拓扑结构，在基础上，证明了奇异吸引子存在Sinai–Ruelle-Bowen不变测度，从而给出了奇异吸引子的统计描述方法；研究了非光滑动力系统中奇异非混沌吸引子，计算了其Lyapunov指数，奇异连续的功率谱和时间序列的相敏感率等统计特征量；通过Poincare-Cartan积分不变量理论，将一类费米型完全弹性碰撞振子的动力学表示成平面保面扭转映射，利用Moser扭转定理，证明了此映射不变曲线的存在性，刻画了运动的整体性质；分析了几类典型的非光滑动力系统(如光滑非光滑振子(SD振子)、干摩擦振子)的全局动力学.利用中心流形定理和奇异性理论，研究了车辆系统的多参数分岔问题；证明了关于紧黎曼流形上连续映射的拓扑熵一个新定理.本项目将碰撞振动和摩擦振动问题纳入非光滑动力系统的理论框架，为我们后继工作确定了新的研究方向.