非光滑系统动力学中奇异吸引子的研究

用拓扑动力系统和符号动力学等理论和方法，描述非光滑系统动力学中奇异吸引子的几何和拓扑结构，并进行分类, 揭示该类系统奇异吸引子的形成和演变规律．研究碰撞振动系统和干摩擦振动系统非光滑映射的表示方法及其奇异性；分析线段和圆周不连续映射的拓扑动力学，用拓扑熵和旋转区间等工具刻画其各类不变集和混沌集的性质；讨论平面和高维非光滑映射不变流形的特性，特别是不变流形的分裂机理以及对双曲集形成的影响；研究平面和高维非光滑映射同宿和异宿分岔，以及同宿相切对系统奇异吸引子形成的作用；探讨非光滑系统动力学中的扭转映射和KAM定理，以刻画该类系统环面形成与分岔过程的特殊性．

本项目主要开展了一维非光滑映射、两维光滑和非光滑映射中奇异吸子结构的研究。对多自由碰撞振动系统的擦切和隆起现象以及奇异非混沌吸引子作了若干分析和计算；证明了两类非光滑周期激励系统周期运动和拟周期运动的存在性，分析了锁相问题；分别讨论了一类连续系统和一类离散系统的混沌控制问题；还研究了一类无穷维动力系统的Hopf分岔问题。主要进展如下：.1.研究了反定向Lorenz型映射的单调性和不连续性，用反演极限描述了此映射奇异吸引子的结构，证明了其双曲性和拓扑传递性；用揉搓理论和有限型子移位给出了拓扑熵的计算方法和公式。.2. 研究了一维非光滑Nordmark 映射 ，通过构造诱导Markov映射的方法，证明了具有无界导数的非光滑映射不变测度的存在性；证明了此映射具有绝对连续的概率密度，并满足中心极限定理。.3. 研究了Nordmark映射的全局动力学。将相平面化分成四个区域，确定了这些区域的像，证明了非游荡点集包含在一个正方形中，Smale马蹄也含在此正方形中。.4. 利用Pruning front方法，建立了一类分段光滑平面映射的符号动力学。对存在马蹄的附近参数，计算了拓扑熵，证明了拓扑熵的单调性；找到了具SRB测度双曲吸引子的参数域，确定了吸引子的Hausdorff维数。.5. 研究一类非光滑振子调和解的存在和唯一性；建立干摩擦振子在共振条件下的次调和运动和拟周期运动的分析方法，计算了Arnold舌。.6. 通过计算Liapunov指数，研究了三自由度碰撞振动系统的拟周期运动和混沌的中间过渡过程，讨论了奇异非混沌吸引子以及多种激变现象。改进了OGY方法，对碰撞振动系统的混沌运动实现了控制。 .7.通过Galerkin方法和投影法，研究了一类无穷维动力系统的Hopf分岔问题。