一致双曲之外的微分动力系统

Dynamics of uniformly hyperbolic systems are well understood while complicated dynamics may occur beyond uniform hyperbolicity. In this project, we will study the dynamics beyond uniform hyperbolicity, and try to obtain some characterizations for dynamics beyond uniform hyperbolicity. .I、Two phenomena may occur beyond uniform hyperbolicity: homoclinic tangency and heterodimensional cycle. Palis conjectured that these two phenomena can globally characterize dynamics beyond uniform hyperbolicity, to be precise, the union of uniformly hyperbolic systems and systems with homoclinic tangencies or heterodimensional cycles are dense in the differential dynamical systems. We will study the following two problems related to Palis Conjecture:.Conjecture 1: there is a spectral splitting for C2 diffeomorphisms with a co-dimension one partially hyperbolic splitting. .Conjecture 2: for C1 generic diffeomorphisms, if an aperiodic class admits a dominated splitting, then it must be a partially hyperbolic splitting with center bundle of dimension at least two..II、Pesin’s theory gives a weakened notion of hyperbolicity—non-uniform hyperbolicity, and gives an approach to characterize non-hyperbolicity through invariant measures. We will study the ergodic properties of non-hyperbolic homoclinic classes for C1 generic diffeomorphisms through Pesin’s theory, for example, to study the non-hyperbolic ergodic measures supported on a homoclinic class and to study whether periodic measures are dense in the space of ergodic measures supported on a non-hyperbolic homoclinic class.

人们对于一致双曲系统的动力性态已有很好的认识，而一致双曲之外可产生非常复杂的动力系统。本项目拟展开对一致双曲之外的微分动力系统的研究，力图给出一致双曲之外动力系统的某些刻画。.一、一致双曲之外可能发生两种现象：同宿切和异维环。Palis猜测这两种现象可以整体刻画一致双曲之外的系统，即双曲系统、具有同宿切或者异维环的系统在微分动力系统中稠密。我们将围绕Palis猜测来研究下面两个具体问题：.猜测1：具有余一维部分双曲分解的C2微分同胚的谱分解。.猜测2：对于C1通有微分同胚，若一个非周期类上有控制分解，则必为中心至少二维的部分双曲分解。.二、Pesin理论给出一种弱的双曲性—非一致双曲，通过不变测度来刻画非双曲性态.我们将通过Pesin理论来研究C1通有微分同胚的非双曲同宿类的遍历性质，比如非双曲同宿类上的非双曲遍历测度，以及其上的周期测度在遍历测度空间是否稠密。

一致双曲微分动力系统的诸多动力学性态已广为人知，比如稳定（不稳定）子丛的唯一可积性、跟踪引理、周期测度的稠密性、遍历测度的中间熵性质等。一致双曲之外的动力系统会产生更多的奇异现象。本项目旨在探索一致双曲之外的微分动力系统的动力学性态，我们主要研究了C^1-通有微分同胚非双曲同宿类上支撑的非双曲遍历测度、（带奇点）星号向量场的动力学、二维环面上的一类部分双曲同态映射的动力相容性等。首先，我们给出了C^1-通有微分同胚的非双曲同宿类上支撑具有多重退化李雅普诺夫指数非双曲遍历测度的充分条件，我们证明了对C^1-通有微分同胚，如果一个同宿类 H(p) 包含不同指标 i 和 j 的周期轨道且不具有中间指标的控制分解，则 H(p) 必支撑非双曲遍历测度，其第 i+1 至第 j 个李雅普诺夫指数均为 0 且其支撑集为整个 H(p)。其次，我们证明了星号向量场（包括几何洛伦兹吸引子、多重奇异双曲向量场）的遍历测度具有中间熵性质，即所有遍历测度的测度熵集合包含了从 0 至拓扑熵之间的左闭右开区间，特别地，关于星号向量场的拓扑熵映射具有下半连续性。第三，我们证明了二维环面上特别的绝对部分双曲同态映射的不稳定叶层一定不含 Reeb 分支，进而证明其中心子丛是唯一可积的，从而系统是动力相容的。另外，我们得到了具有周期轨道粘合性质的动力系统的遍历测度对于动力系统上的渐进可加函数列定义的平均李雅普诺夫指数具有中间指数性质。基于这些工作，我们继续开展了对于带奇点向量场的动力学的进一步研究，如奇异双曲吸引子（包括几何洛伦兹吸引子）上支撑的遍历测度空间的相关性质，星号向量场的物理测度等。