一致双曲以外的动力系统的遍历性

The purpose of this project is to give new insights to the mechanisms generating ergodicity and stable ergodicity. One of these mechanisms is the property of accessibility. This is conjectured by Pugh and Shub to generate ergodicity. One line of work is address to the study of the structure of accessibility classes when the center bundle is two-dimensional, and its possible link with the density of stable accessibility in this case. Another line of work is to address the abundance (C1-genericity) of stable ergodicity among the positive metric entropy systems. The PI showed the C1-genericity of ergodicity in this case, when the manifold is 3-dimensional. This was recently extended by Avila, Crovisier and Wilkinson for any dimension. We want to address the stable ergodicity in this case, beginning by 3-dimensional manifolds. We want to establish that the phenomenon of intermingled basins of SRB measures is fragile for partially hyperbolic systems with one dimensional center bundle. Finally, we want to study mechanisms of generic ergodicity in the region where all the Lyapunov exponents are zero.

本项目旨在发掘出对遍历性和稳定遍历性的产生机制的新认识。遍历性的产生机制之一是可达性，Pugh和Shub猜想可达性可推出遍历性。我们的一个工作路线是研究中心二维部分双曲系统可达等价类的结构，这很可能与中心二维情况下的稳定可达性产生关联。我们的另一条工作路线是论证在C1通有条件下稳定遍历系统在有正测度熵的系统中是非常丰富的。本项目申请人已证明对三维流形上的对正熵系统，遍历性是C1通有的性质。这个结果在最近被Avila、Croviser和Wilkinson拓展到任意维数。我们希望对这个问题从三维情形开始，证明稳定遍历性是通有的性质，同时建立中心一维部分双曲系统吸引子的缠扎盆地的非稳定性。最后，我们将对所有的Lyapunov指数都为0的系统研究其在通有情况下遍历性的产生机制。

该项目的主要目标是为保守微分同胚产生遍历性和稳定遍历性的机制提供新的见解。 对于部分双曲微分同胚，可访问性是产生遍历性的主要机制。 1.当中心束是二维的时，我们建议研究可访问性类的结构。 我们在与 Vasquez 的联合工作中做到了这一点，该工作已发表，菲尔兹获得者 Avila 引用了与 Viana 联合工作的结果（Stable accessibility with 2-dimensional center. Asterisque (2020), 416: 301-320）。 2.我们还探索了新的机制，项目负责人曾猜想不变扩展叶结构的最小值是产生稳定遍历性和稳定伯努利的一般机制。 与 Núñez 合作，该结果在维度 3 中被证明是正确的。它已经发表。 与相同的合著者证明并发表了不变扩展传单的最小值通常是稳定条件。 目前这个猜想仍然开放，并引起了几位作者的注意。 我们发现不变扩展传单的最小性本身就是一个有趣的动力学现象，并与 Ures 和 Yang 在保守设置之外的这个主题上进行了合作。 我们发现了 DA 微分同胚的一个新例子，它是 3D 环面的双曲自同构的部分双曲微分同胚，稳定和不稳定的叶状结构，两者都是最小的。 研究结果发表在Transactions AMS。 3.我们还提供了非部分双曲 3-流形的稳定遍历保守微分同胚的新例子。 这是与 Núñez 和 Obata 的合作，发表在Nonlinearity。此外，我们发现了Anosov微分同胚的熵和传递性之间的某种关系。 这是与 Micena 的联合作品。 4.我们还研究了一些微分系统具有遍历性以后关于遍历测度的统计性质。发表论文于 Annales de l’Institut Henri Poincaré - Probabilités et Statistiques和Nonlinearity等。 最后，我们小组也积极培养年轻学生。 在我们的指导下下结束，目前小组成员包括多位博士和博士后学生。 我们组目前每周有两场动力系统研究研讨会：一场是常规的，另一场是专门为年轻研究人员设计的。