相依结构不确定下的聚合风险问题

In some aggregation risk problem , we know the marginal distribution of each risk , but no dependence information, In this case, we are concerned with the sum of risks called S, and denote the “Admissible set ”as all possible sum S , It’s difficult to characterize the Admissible set in general . So we focus on the extreme value of some risk measure on S, This problem leads to finding an extreme negative dependence, finding the minimum element in convex order in the Admissible set, or finding the constant sum (we call it mixable). We studyed some property and some sufficient condition for Complete Mixability(CM). We proved the necessary and sufficient conditions for CM in monotone marginal densities case. We got some property for CM in other distribution class. We want to study deeply in this field: exploring more CM distribution class, finding some sufficient conditions for Joint Mixability, finding minimum element in convex order in any Admissible set, and partially characterizing the Admissible set.... All these study could help us to detect the robustness of different risk measure under dependence uncertainty. This will help us to build the most robust risk management system.

在一些聚合风险问题中，我们知道风险的边缘分布，但没有各风险之间相依结构的信息，我们关心聚合风险的加和S可能是什么。一般性的刻画S的所有可能，也就是刻画“允许集”比较困难，现实中我们普遍关注加和S在一些风险测度下的极值。这些问题通常归结为寻找极端负相依结构：即寻找允许集中的凸序最小元，或者更极端的考虑S是否可能是常数（称之为混合）。我们研究了混合的性质与一些充分条件，在密度单调分布类中证明了完全混合的充要条件，并找到了加和的凸序最小元情形。我们还证明了凸密度分布和其他一些分布类的可混合性。我们希望以此为基础深入研究，探索更多的完全混合分布类，求出一些分布类中能够联合混合的充分条件，在一般的允许集中找到凸序最小元或极小元，并希望能部分刻画允许集，……。这些问题的研究可以帮助我们在模型不确定性的大环境下，检测不同风险测度的鲁棒性，有助于我们建立稳健的风险管理系统。

本项目关注相依结构不确定下的聚合风险问题，主要关注在给定边缘分布但没有相依结构信息下，随机变量的加和的所有可能分布，以及相关问题。本项目主要研究了：..（1） 我们考虑给定边缘分布的一组随机变量的加和是否可能是一个常数，称之为联合混合，我们给出了密度递减边缘分布场景下的能否联合混合的充分必要条件。这一结果发表在运筹学顶级期刊 Mathematics of Operations Research 上。.（2） 我们完成了三个或更多个均匀分布随机变量的加和的所有可能分布的刻画，部分刻画了两个均匀分布随机变量的加和的所有可能分布。.（3） 在边缘分布的一阶矩不存在时，我们关注联合混合随机变量的加和结果（某个常数）是不是唯一的，我们给出了不唯一的例子，并且刻画了柯西分布的所有可能的混合中心。.（4） 我们完成了概率测度组与分布函数组之间的相容性条件的刻画。.（5） 我们部分完成了n个随机变量之间的所有可能秩相依系数矩阵的刻画。..三年来共发表SCI文章3篇，以及尚在投稿过程中的文章3篇。