乘性噪声不确定系统基于偏距的随机控制及在金融优化中的应用

Motivated by the real applications, this project studies the partial moment based stochastic optimal control problem for the system with multiplicative noise. In classical stochastic control theory, most of the model use the expected value or variance of the performance index as the design objective. Such a sole objective lacks the ability in controlling the one-side deviation and the accuracy of the performance index. This project proposes to integrate the partial moment in the objective function to enhance the quality of classical stochastic control. The research includes both theoretical studies and its applications. For the general partial moment based control model of linear stochastic system with multiplicative noise, we investigate the optimal control law by analyzing the value function, characterizing the structure of the feedback control law and designing the receding horizon control. For the model with bounded uncertain parameters, we study the robust optimal control problem by using the conic optimization techniques. For the case with Markov jumping parameters, we use stochastic dynamic programming to solve it. Characterizing the complete statistics of the performance index of such as system is one of our research target. For the applications, we consider the partial moment based dynamic portfolio optimization problem, where the no shorting constraint and no bankruptcy constraint are included, the CVaR based dynamic portfolio optimization model, and the extension of up-downside partial moments to the behavioral finance based utility model. We also study the relationship between the martingale dual method used in these financial applications and the classical stochastic control approach. Our target is to extend the martingale approach to more general stochastic control problem.

本项目从实践应用出发研究几类带有乘性噪声不确定系统基于偏距的最优控制模型。传统随机控制模型多以性能指标的均值为控制目标，在理论和实际应用中难以控制性能指标的单边波动性和精细度。本项目提出以性能指标的偏距为控制目标来修正传统模型。研究内容包括理论和应用等多个方面：对一般的带有乘性噪声线性系统，研究基于偏距的最优控制，利用Value Function的特性刻画反馈控制的结构，构造近似控制律和设计滚动控制算法；利用锥优化理论研究鲁棒最优控制策略；利用特征函数和Pokker-Planck方程研究系统性能指标的完全统计特征；研究此类模型在金融优化中的应用：包括带有卖空约束和破产约束的动态投资组合优化模型；基于CVaR等风险度量的动态风险控制模型；将上、下偏距模型推广到行为金融效用模型中；结合金融优化模型，研究鞅对偶方法与经典随机控制方法的关系及在一般随机控制问题中的应用。

以金融投资决策模型为代表的一大类随机控制问题的特点是：随机性由乘性噪声引入，同时需要控制指标的偏距(风险)。本课题从随机控制理论和优化算法的角度对此类问题开展研究，得到了一些理论和应用层面的研究成果。针对由布朗运动驱动的一般随机系统，且目标函数为下偏距的最优控制问题，本项目提出使用鞅性质的求解的思路：通过测度变换可以先求解出终端状态随机变量的形式，再进而找出控制策略复制出终端随机变量。研究给出了此类问题拉格朗日乘子存在的条件和模型适定的条件，解决了应用中如何判断此类模型是否存在最优解的难题，奠定了理论基础。在与金融领域的交叉研究中，项目组进一步将理论成果应用到具体的投资决策模型中，提出了一些新模型及其求解策略：(a)项目组在已有理论成果的基础上，研究了基于风险值VaR(偏距的特例)的动态投资决策问题。在鞅方法的框架下，使用变量替换法：将分位点函数作为决策变量，首次在文献中给出此问题的投资(控制)策略；实际数据验证了该模型较好的风险控制特性。(b)考虑到投资决策模型采用单一风险度量的缺点，项目组提出将条件风险值CVaR（一阶偏距的特殊形式)和损失概率加入经典动态均值-方差模型中。运用随机控制和最优化方法给了此类问题最优策略的求解方法；该模型在实际应用中可以较好地改善经典模型对尾部风险控制不足的缺点。(c)项目组研究了离散时间下基于条件风险值CVaR的动态投资组合优化问题。使用动态规划和随机规划的方法给出了该问题的数值算法和时间一致性投资策略。本项还研究了带有控制约束的最优随机控制问题，将求解偏距问题的方法应用到解决带有锥约束的线性二次型随机最优控制问题中：利用了“状态分离”定理把系统状态和系统的其他参数进行分离并使用动态规划得到解析的控制率；将此方法应用到了无穷时间长度的问题上可以得到了稳态控制率以及控制系统渐进稳定的特性。本课题的科学和社会意义：为带有偏距目标函数和控制约束的随机控制问题提供了理论分析方法和求解策略；将这些方法应用在于金融领域，为投资决策管理提供了新的工具。