正倒向随机控制系统及其在金融中的应用研究

On the forward-backward stochastic control system theory and application study of the growing, more and more widespread application of the financial sector. By the drive of optimal control theory development and financial problem application, this topic intends to carry on series problem for research,such as controllability of forward-backward stochastic control system,optimal control problem on performance index including the solutions of backward system, the forward-backward stochastic control system drived by Lévy process and, obtaining the algeba criterion on exact controllability of forward-backward stochastic control system. By using partial differential equation theory and viscosity solutions technology, this topic also gives the maximum value principle of stochastic optimal control problem of forward-backward stochastic control system drived by Lévy process, and reveals relationship between dynamic planning principle and it. Moreover, study in a deepgoing way on the linear quadratic optimal control problem, and giving the display expression of optimal control are also considered in this topic. Based on those, we study optimal decision problem of portfolio with options and other derivative securities, to gain the expression of optimal decision making under certain preferences if the empirical analysis of China's financial markets. Research will be further enriched and improved forward-backward stochastic control system theory, for investors to invest in derivatives provide new methods of optimization and decision basis. Therefore the subject of study are both important theoretical significance and application value.

关于正倒向随机控制系统的理论与应用研究日益深入，金融领域的应用前景越来越广泛。受最优控制理论发展与金融问题应用的驱动,本课题拟开展对正倒向随机控制系统的能控性、性能指标包括倒向系统解的最优控制以及对Lévy过程驱动的正倒向随机控制系统等一系列问题进行研究，获得正倒向随机控制系统随机精确能控性的代数判据；利用偏微分方程理论以及粘性解等技术，给出Lévy过程驱动的正倒向随机最优控制问题的最大值原理，揭示与动态规划原理的内在联系；深入研究线性二次最优控制问题，给出最优控制的显示表达式。在此基础上，研究含有期权等衍生证券投资组合的最优决策问题，在某些偏好假设下得到最优决策的表达式，并结合我国金融市场实际进行实证分析。课题研究将进一步丰富和完善正倒向随机控制系统的理论，能够为投资者利用衍生产品进行投资决策优化提供新的方法和决策依据。因此开展本课题的研究既有重要的理论意义也有应用价值。

受理论发展完善和金融应用的驱动，正倒向随机控制系统的理论与应用研究日益深入。鉴于金融领域应用前景的广泛性和复杂性，近年来Levy市场特性越来越受到人们的关注。在国家自然科学基金支持下，课题组在正倒向随机控制系统的理论完善和金融应用两个方面进行了系统研究。.在理论方面，项目组给出了倒向随机控制系统精确能控性的数学描述以及系统精确能控的必要条件。对于线性系统，得到了关于系统精确能控的3个等价条件，给出了正倒向随机控制系统精确能控的必要条件，同时还获得了系统完全精确能控的代数判据，提出并研究了Levy过程驱动的正倒向随机控制系统的最优控制问题。在证明了Levy过程驱动的正倒向随机微分方程解的存在唯一性和对参数的连续依赖性等结果的基础上，获得了相应的最优控制存在的必要条件，即随机最大值原理。在某些凸性条件下，得到了最优控制的充分条件。项目组还进一步研究了控制受限或者终端约束条件下最优控制的必要条件和最大值原理，证明了线性二次LQ问题最优控制的存在唯一性，得到了最优控制和线性反馈的显示表达式，并开展了具有金融市场背景的非线性系统定性性质的相关研究，得到了周期波动的物理性质等理论结果。.在应用方面，针对金融市场实际并结合我国最新的实际热点问题，得到了Levy市场期权定价、存款保险定价等应用结果，实证分析结论解释了我国金融市场的实际现象。.课题组研究结果大多以学术论文形式发表在国内外期刊和重要会议上，其中SCI收录17篇。以我们的理论成果为基础，“金融市场随机与微分系统的定性分析及其在金融市场和生物系统的应用”获得了青岛市自然科学二等奖，应用成果“项目融资的风险度量、控制与管理研究”获得山东省优秀软科学一等奖。