非周期哈密顿系统及离散薛定谔方程的同宿解

We study the existence and multiplicity of homoclinic solutions for nonperiodic Hamiltonian systems and nonperiodic discrete Schrodinger equations by using the direct methods, minmax technique and the concentration-compactness principle in the calculus of variations. By using some new max-min technique, we also study the multibump solutions for asymptotically periodic or asymptotically autonomous Hamiltonian systems and multibump positive solutions and sign-changing sulutions for asymptotically periodic or asymptotically autonomous discrete Schrodinger equations and obtain infinitely many homoclinic solutions for these problems, which impies infinitely many homoclinic solutions of these problems. Many papers have been published concening the existence and multiplicity of homoclinic solutions for periodic Hamiltonian systems and discrete Schrofinger equations. However, up to now a few have been obtained for nonperiodic Hamiltonian systems and discrete Schrodinger equations due to the lack of compactness of the Sobolev embedding. In order to recover the compactness of the Sobolev embedding , researchers imposed some coercivity assumptions on the potentials. It is a very interesting and challenging problem to study the existence and multiplicity of nonperiodic Hamiltonian systems and discrete Schrodinger equations with bounded potentials.

在变分框架下使用直接变分方法、极小极大方法、集中紧性原理等非线性分析工具研究非周期哈密顿系统和非周期离散薛定谔方程同宿解的存在性与多重性问题，特别是渐近自治、渐近周期哈密顿系统与渐近自治、渐近自治离散薛定谔方程同宿解的存在性与多重性问题。利用新近发展起来的极大-极小方法，研究渐近自治、渐近周期哈密顿系统多包解的存在性，渐近自治、渐近周期离散薛定谔方程多包正解、多包变号解的存在性，由此得到问题的无穷多个同宿解。关于周期或自治哈密顿系统和周期离散薛定谔方程同宿解的存在性与多重性，目前已有大量文献。利用变分方法研究非周期哈密顿系统同宿解的存在性问题至今也有20多年了，但目前文献还较少。由于相应的索布列夫嵌入非紧，给这一问题的研究带来了巨大的困难。为了克服紧性缺失人们假设势满足强制性条件。本项目的研究具有有界非周期势的哈密顿系统和离散薛定谔方程同宿解的存在性与多重性具有重要的理论意义与现实意义。

在变分框架下利用非线性分析工具研究非周期非局部椭圆方程和非周期离散薛定谔方程同宿解的存在性与多重性问题，特别是渐近自治非局部椭圆方程与渐近自治离散薛定谔方程同宿解的存在性与多重性问题。关于周期或自治非局部椭圆方程和周期离散薛定谔方程同宿解的存在性与多重性，目前已有大量文献。利用变分方法研究非周期非局部椭圆方程同宿解的存在性问题至今也有20多年了，但目前文献还较少。由于相应的索布列夫嵌入非紧，给这一问题的研究带来了巨大的困难。本项目对周期离散薛定谔方程，在强不定情形下得到了非平凡解存在的充分必要条件，揭示了这类方程存在非平凡解的本质特性。对带有渐近常数势函数的薛定谔方程，利用集中紧性引理及重心函数得到了基态正解和束缚态正解存在的充分条件，揭示了势函数对解的存在性的深刻影响，改进了这方面已有研究成果。对具有局部次临界扰动的次临界Choquard方程,研究了基态解的存在性、正性、正则性、径向对称性、衰减性质等,并建立了Pohozaev恒等式。然后利用此结论研究了具有临界指标及局部扰动项的Choquard方程,利用指标逼近技巧及Pohozaev恒等式得到了基态解的存在性、径向对称性、衰减性等结论。对带有非对称外电场势的次临界Kirchhoff方程,薛定谔-泊松方程及Choquard方程,利用区域逼近、积分估计及Pohozaev恒等式、极小极大定理等工具在势函数不具有任何对称性且满足适当的指数增长条件(其中Choquard方程情形要求代数增长)下得到无穷多个非平凡解的存在性。本项目研究的问题具有重要的物理背景，所以研究具有有界非周期势非局部椭圆方程和离散薛定谔方程同宿解的存在性与多重性具有重要的理论意义与现实意义。