某些类型格点系统的定性研究

利用非线性分析工具研究FPU 格点系统非平凡孤立波解、周期运动的存在性,研究离散薛定谔方程同宿解的存在性及多重性,争取得到更为深刻细致的结果。对具有更一般势函数的FPU 格和带有格点势的格点系统，利用集中紧性原理及逼近技巧研究其非平凡孤立波解的存在性和多重性。利用直接变分方法、极小极大方法及集中紧性原理等工具研究FPU 格和带格点势的格点系统非平凡周期运动的存在性，完善周期运动的存在性理论。利用延拓方法、Morse 理论等工具研究带渐近二次格点势的格点系统非平凡孤立波和周期运动的存在性,进一步丰富这方面的理论。利用极小极大方法、Morse理论研究离散非线性薛定谔方程同宿解的存在性与多重性。格点系统可以看作某些非线性波方程关于空间变量的离散化，和非线性波方程一样具有很强的物理背景，描述了不同的物理系统。对这些方程孤立波、周期解及同宿解的存在性、多重性研究具有重要的理论意义和现实意义。

研究了FPU格点系统非平周期运动的存在性,得到了周期解的存在性与多重性, 当周期在某区间取值时,得到的周期解是非常数的。特别地,对具有奇非线性项的FPU格,证明了任意多个结构不同的非常数周期解的存在性。其次我们研究了在无穷远处是渐进二次增长的情形。在给定合适的扭转条件下,得到了一个具有有限能量的非零T周期解,并在一定的条件下我们还得到了解的非常性。利用Morse理论和一些最新的关于临界群精确计算的结果,研究了带渐近二次相互作用势的格点系统非平凡周期运动的存在性与多重性, 进一步丰富了这方面的理论。利用山路定理,广义的环绕定理等非线性分析工具研究了具有弱超二次势的FPU格点系统周期波的存在性,然后再利周期逼近证明了非平凡孤立波的存在性。利用Nehari流形方法研究了FPU格点系统,对弱超二次情形得到了基态孤立波的存在性。. 利用Morse理论等工具,研究了离散薛定谔方程同宿解的存在性及多重性,在正定情形,研究了多包解的存在性,得到了无穷多个结构不同的非平凡同宿型解的存在性。对强不定周期离散薛定谔方程,利用弱环绕定理,证明了非平凡同宿解的存在性。利用新近发展的关于对称泛函的抽象临界点定理等工具,研究了具有奇非线性项的周期离散薛定谔方程,在强不定情形,对渐近线性非线性项及弱超线性非线性项的情形,得到了无穷多个结构不同的非平凡同宿解的存在性。利用新近发展的抽象临界点理论，研究了强不定周期离散薛定谔方程的同宿解的存在性与多重性问题，在非线性项满足渐近线性或超线性条件下，给出了无穷多个结构不同同宿解存在性的新条件。此外还研究了非周期离散薛定谔方程,利用喷泉定理证明了无穷多个孤立子的存在性。