关于zeta函数特殊值的研究

This project considers the properties of the special values of zeta functions and their multiple generalizations at integer arguments, and their relationships with other disciplines. We study which algebraic relations of multiple zeta values can be deduced from regularized double shuffle relations; consider the applications of the properties of motivic multiple zeta values; study the relationships of gamma functions, hypergeometric functions with some types of multiple zeta values, try to obtain a suitable definition of generalized hypergeometric functions for an object with regularized double shuffle relations, and explore the relationship between the conical zeta values and hypergeometric functions; try to generalize the definition of elliptic multiple zeta values to higher genus, and study multiple Dedekind zeta value of some special number fields.

本项目研究zeta函数及其多元推广在整数点上特殊值的性质，研究它们与其它学科的关系。我们研究多元zeta值的哪些代数关系可以由正则化双shuffle关系导出；考虑motivic多元zeta值的性质的一些应用；研究gamma函数、超几何函数与各种多元zeta值的关系，对满足正则化双shuffle关系的对象定义适当的广义超几何函数，探讨圆锥形zeta值与超几何函数的关系；尝试推广椭圆的多元zeta值的定义，定义更高亏格的多元zeta值，研究某些特殊数域的多元Dedekind zeta值。

各种zeta函数是数论中最重要的研究对象之一，研究它们在整数点上取值的性质有着重要的意义。本项目研究各种zeta函数的多元推广的特殊值的性质，特别是研究多元zeta值之间的代数关系和代数结构，它们与超几何函数的关系，以及多元zeta值的一些推广的性质。利用组合刻画，我们给出了多元zeta值之间的洗牌积和调和洗牌积的一些非常一般的公式；我们证明了自变量为偶数的许多多元zeta值的取值公式可以从正则化双洗牌关系导出，并且给出了Hoffman的和公式的一般化，特别证明了Gencev的一个猜想；我们证明了Kawasaki-Tanaka关于对偶性的一个猜想，给出了Hoffman的和公式的多项式系数加权一般化，特别的证明了Guo-Lei-Zhao的一个猜想；我们给出了插值多元zeta值的正则化双洗牌关系，研究了固定权重、深度和高度的插值多元zeta值的和；更一般地，我们研究了固定权重、深度和一般高度的插值多元q-zeta值的和，并研究了插值多元q-zeta值的截断版本的对应的和；我们还研究了某类多元q-zeta值的拓扑性质，研究了Tornheim双zeta函数和Euler和。这些研究必将促进zeta函数特殊值相关研究的发展，促进数论和其它一些数学分支的发展。