黎曼zeta函数与值分布

The value distribution of the Riemann zeta function, especially the distribution of zeros of the Riemann zeta function is one of the most important problem in pure mathematics. The famous Riemann Hypothesis asserts all of nontrival zeros of the Riemann zeta function are on the critical line. In this project, we will research the following topics: proportion of zeros of the Riemann zeta function on the critical line; zeros of the derivative of the Riemann zeta function near the critical line; gaps between zeros of the Riemann zeta function; nonzero distribution of the Riemann zeta function near the critical line; value distribution of general meromorphic functions, especially exact and approximate distribution of zeros. We wish to know more on the Riemann zeta function and the Riemann Hypothesis by these research.

黎曼zeta函数的值分布尤其是零点分布是纯数学最重要的问题之一，著名的黎曼猜想断言黎曼 zeta 函数的所有复零点都在实部为二分之一的临界线上。本项目研究以下几个方面的问题， 从不同角度增加对黎曼zeta函数及黎曼猜想的理解：一， 黎曼 zeta 函数在临界线上的零点，以及与它相关的黎曼zeta函数的导函数的零点分布；二，黎曼zeta 函数零点的间隙；三，黎曼zeta函数的非零值点在临界线附近的分布；四，一般的亚纯函数的值分布尤其是零点的精确分布和渐近分布。其中一二三直接研究黎曼zeta函数的值分布性质；四希望能在更广泛的亚纯函数论的框架下理解黎曼zeta函数的零点，并从丰富的经典的值分布理论中学习借鉴。

黎曼 zeta 函数的值分布尤其是零点分布是纯数学最重要的问题之一。素数分布及一般亚纯函数的值分布理论都与之密切相关。本项目研究了以下几个方面的问题：一，黎曼 zeta 函数在临界线上的零点间隙：我们在广义黎曼假设下证明了黎曼zeta函数存在无穷多对相邻零点的间距至少是平均间距的3.072倍。 二，k+1个连续素数出现频率最高的k元间隙组（k元跳跃冠军）的性质：假设适当的Hardy-Littlewood 猜想成立，我们证明了任意给定的素数p整除所有充分大的k元跳跃冠军的每个元且充分大的k元跳跃冠军的最大公因子是无平方因子的。三，高阶对数差分和差分Wiman-Variron定理：对增长级小于1的亚纯函数我们给出了高阶对数差分和高阶对数导数之间精确的渐近关系，并由此证明了增长级小于1的整函数的乘法形式余项的差分Wiman-Variron定理。作为应用，对于多项式系数的高阶差分方程，我们证明了其增长级小于1的整函数解是完全正则增长的（我们的新版差分Wiman-Variron定理是证明这一点的关键），且其增长极为有理数。