多重zeta值相关问题的研究

近20年来与多重zeta值相关问题的研究是很活跃的一个领域，它与量子群、扭结理论、数论、算术代数几何等学科有着深刻而广泛的联系。这一领域已有许多有趣而且深刻的结果,但还有许多公开问题和猜想。我们将研究与多重zeta值相关的问题，特别是它们的算术、代数和几何性质：研究多重zeta值的已知各种代数关系的蕴含关系，以更好的把握多重zeta值张成的向量空间的结构；考虑gamma函数的性质与多重zeta值的关系；研究混合Tate motive与多重zeta值的关系，以获得一些混合Tate motive的周期的刻画；研究Tate曲线的混合Hodge结构与多重zeta值的关系；研究高亏格的推广；考虑多重zeta值的无理性、超越性和代数独立性；还将考虑它们的类比：多重zeta-star值和数域的多重Dedekind zeta值。这些研究必将促进数论、算术代数几何，以及量子群、扭结理论等学科的发展。

本项目研究多重zeta值的代数、几何和算术性质。我们证明了Ohno-Zagier关系可以由正则化双shuffle关系导出，从而同时给出了Ohno-Zagier关系的一个纯代数证明。利用广义超几何级数3F2，我们给出了Zagier关于自变量为若干个2和一个3的多重zeta值的一个重要公式的新的直接证明。我们证明了Kaneko和Ohno关于多重zeta星值的对偶性的一个猜想，证明的工具也是广义超几何级数3F2。我们导出了与多重zeta值密切相关的调和代数中的两类非平凡的等式。作为应用，我们给出了Zagier关于自变量为若干个2和一个3的多重zeta值及多重zeta星值的公式等价性的纯代数证明。