四维流形上的群作用

In this project, on the one hand, we will study the finite group actions on 4-manfolds by using the Seiberg-Witten theory, we will improve Furuta's 10/8 theorem in the presence of smooth finie group actions on 4-manifolds, and discuss the 11/8 conjecture for 4-manifolds; we will study the constrains of the Seiberg-Witten invariants and the Bauer-Furuta invariants when 4-manifolds have some group actions, as an application, we will study the group actions on non-spin 4-manifolds with even intersection form and get some topological constraints and some results similar to 10/8 theorem. On the other hand, we will use the Seiberg-Witten invariants to study the topological classifications, existence and nonsmoothability of the locally linear group actions on 4-manifolds.In the meantime, we will study the symplectic actions of finite group on 4-manifolds by using G-equivariant Seiberg-Witten-Taubes theory, especially descripe the structures and classifications of fixed-point set for symplectic cyclic actions on some 4-manifolds. The results we get in this project will discover many topological properties of 4-manifolds.

本项目一方面运用Seiberg-Witten理论深入研究四维流形上的群作用，在具有群作用条件下改进Furuta的10/8定理, 并尝试研究四维流形的11/8猜想； 在具有群作用的情形下研究四维流形的Seiberg-Witten不变量与Bauer-Furura不变量的限制, 作为应用研究具有偶相交形式的非spin 四维流形上的群作用, 得到其拓扑限制以及与10/8定理相类似的一些结果. 另一方面运用Seigerg-Witten理论研究四维流形上的局部线性群作用,研究四维流形上的局部线性群作用的拓扑分类, 实现问题以及是否可以光滑化的问题；同时利用G-等变Seiberg-Witten-Taubes理论研究四维流形上的有限群的辛作用，特别地刻画某些四维流形上辛循环群作用的不动点集的结构与分类. 预期的结果将揭示四维流形的许多内在的拓扑性质.

四维流形的研究是当前几何拓扑学的主要研究领域之一, 四维流形上的群作用，特别是群作用的不动点性质和分类是四维流形理论的重要研究内容, 相关结果是非常有理论意义的,能揭示四维流形的许多内在的拓扑性质.本项目一方面运用Seiberg-Witten理论深入研究了四维流形上的群作用,特别地在具有群作用的情形下研究了四维流形的Seiberg-Witten不变量与Bauer-Furura不变量的限制, 作为应用研究了具有偶相交形式的四维流形上的群作用, 得到了这类流形的重要的拓扑限制. 另一方面我们运用Seigerg-Witten理论研究了四维流形上的局部线性群作用,特别是研究了四维流形上的局部线性群作用的拓扑分类, 实现问题以及是否可以光滑化的问题, 得到了一些四维流形上的不可光滑化的局部线性循环群作用.通过对Kirby-Siebenmann不变量和Rochlin不变量的深入研究, 得到了spin 四维流形上具有光滑三阶循环群作用的拓扑限制, 作为应用在一类spin 四维流形上构造了不可光滑化的三阶循环群作用.同时利用G-等变Seiberg-Witten-Taubes理论研究了一类椭圆曲面上的有限群的辛作用，刻划了这类四维流形上辛循环群作用的不动点集的结构与分类, 并利用这些结果得到了这类四维流形上辛循环群作用的刚性结果，即在一些拓扑限制下， 证明这样的辛循环群作用一定是同调平凡的. 本项目我们所得到的这些结果都是非常有理论意义的.