非自治/随机系统的渐近性态及其应用

We intend to investigate the asymptotic symmetry in (strongly) monotone non-autonomous/random systems and the convergence for uniform decay solutions of almost periodic parabolic equations on unbounded domains. Many branches of differential equations and dynamical systems will be involved, such as skew-product semiflows theory, infinite-dimensional dynamical systems, random systems, Lyapunov exponents and ergodic theory. Firstly, in the context of condensing maps, we will study the asymptotic symmetry, with respect to some compact connected group, for stable solutions in strongly monotone non-autonomous systems. We then apply this theory to functional differential equations with finite/infinite delay and spatial diffusion, and reaction-diffusion systems with partly vanished diffusion coefficients to study their asymptotic symmetry. Secondly, we will investigate the limit sets of the uniform decay solutions of almost periodic parabolic equations on unbounded domains, and establish their asymptotic almost automorphy or almost periodicity. Finally, we will utilize the theory of exponential separation and Lyapunov exponents to study the asymptotic symmetry in (strongly) monotone random systems generated by random parabolic equations.

本项目旨在综合运用微分方程与动力系统的多个分支，包括斜积半流理论，无限维光滑动力系统，随机动力系统，Lyapunov指数以及遍历理论等，来研究（强）单调非自治/随机系统轨道的渐近对称性以及无界域上几乎周期抛物方程的"一致衰减"解的渐近收敛性。在condensing映射的范畴下，研究抽象强单调非自治系统稳定解关于紧连通群的渐近对称性，并应用于带扩散项的有限和无限时滞泛函微分方程以及部分扩散系数为零的反应扩散系统得到其稳定解的渐近对称性；进而通过对无界域上非自治几乎周期抛物方程"一致衰减"解的极限集的研究，一般性地建立系统解的渐近几乎自守或者几乎周期性；最后利用Lyapunov指数理论和指数分离性质，研究由random抛物方程生成的（强）单调随机系统的稳定解关于紧连通群的渐近对称性。

非自治方程正吸引着研究者越来越多的关注，而用来研究这类方程的一个统一的抽象框架便是所谓的斜积半流。系统的渐近动力学行为是其中一个重要的研究课题，具体地说，就是研究方程解的极限集的结构。我们正是在斜积半流的框架下，研究了连通群作用下的单调动力系统，建立了其一致稳定1覆盖集的对称性或者单调性，并且应用此理论得到了无界对称域上具有时间回复结构的抛物系统的一致稳定整解的径向对称性和几乎周期双稳反应扩散系统的一致稳定行波解的单调性和渐近一致稳定性。这是对自治情况下稳定平衡点的对称性理论和离散情况下稳定不动点的对称性理论的自然发展。另外，我们研究了Dirichlet边界条件下的非单调可比反应扩散系统的渐近动力学性态，假设与其具有比较关系的单调系统具有强序保持性，在此条件下，我们建立了非单调系统一致稳定解的渐近几乎周期性。对于无界域上非自治抛物方程的一致衰减解，我们利用零点数方法研究了其渐近收敛性。