高维非线性可积系统的代数几何解

Algebro-geometric method is one of the most effective tools in the study of periodic (quasiperiodic) problems of nonlinear integrable systems. In the 1990s, this method was further developed by Gesztesy and Holden and successfully applied to compute algebro-geometric solutions of a large class of nonlinear integrable hierarchies. Significantly, all these equations are 1+1 dimensional. Based on Gesztesy-Holden's theory, this project aims to develop a new method to construct algebro-geometric solutions for high-dimensional integrable system through discussing three classical equations in nonlinear integrable systems, namely, the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy, the 2+1 dimensional Toda lattice and the Gross-Pitaevskii equation. This project will expand the application of algebro-gemetric method, and provide a new way to study algebro-geometric solutions of high-dimensional nonlinear integrable systems and relevant problems.

代数几何方法是研究非线性可积系统（拟）周期问题最为有效的工具之一。上个世纪90年代，Gesztesy和Holden进一步发展了代数几何方法并将其成功地用于一大类非线性可积方程族的代数几何解的计算。值得注意的是，所有这些方程都是1+1维的。本项目旨在以Gesztesy和Holden的理论为基础，通过对三个经典的非线性可积系统即Kadomtsev-Petviashvili方程族，2+1维Toda方程和Gross-Pitaevskii 方程的探讨，进一步发展和完善构造高维非线性可积系统代数几何解的新方法。本项目的实施将有效地扩大代数几何方法应用的范围，并为高维非线性可积系统代数几何解及相关问题的研究提供新的手段。

非线性可积系统的代数几何解的构造问题是偏微分方程领域研究的重要问题之一。上个世纪80年代，前苏联和美国数学家创造性地将代数几何理论引入到KdV方程的周期初值问题问题的研究中，并发展了一套有效的构造代数几何解的方法, 即所谓的代数几何方法。几十年来，这一方法被不断的推广应用到大量可积方程的研究中。.迄今为止，这一方法仍然是研究代数几何解最为有效的工具。值得注意的是，能够适用于代数几何方法解决的问题程绝大多数都是1+1维的，而对高维方程的研究极为困难。因此，这需要我们能够在方法上进行一定的创新。在本项目的资助下，我们以经典的代数几何方法为基础，结合Gesztesy和Holden的理论和Riemann-Hilbert理论，发展了新的代数几何方法用于解决经典的1+1维和2+1维可积方程（族）的代数几何解的构造问题。主要的研究对象包括经典的Kadomtsev-Petviashvili方程族，修正Kadomtsev-Petviashvili方程族，2+1维Toda方程族，相对Volterra方程族，海德堡铁磁体方程族，导数薛定谔方程等。本项目通过对这一系列方程的代数几何解的研究，一方面进一步发展和完善了构造非线性可积系统特别是高维非线性代数几何解的新方法，有效地扩大了代数几何方法应用的范围，为人们深入理解孤立波、拟周期波、怪波的形成机制提供了一定程度的理论基础，另一方面，也为可积系统其它领域的的有关其它问题，如类阶梯型初值问题解的长时间行为的研究注入了新的动力。