Julia集为Cantor圆周的有理函数的动力系统

Our program will focus on the dynamics of rational maps whose Julia sets are Cantor circles. The following questions will be throughly studied: (1) Find the specific expressions of all the rational maps whose Julia sets are Cantor circles and give a dynamical classification of them in the sense of quasisymmetric equivalence. (2) Study the regularity of the Julia components of the rational maps whose Julia sets are Cantor circles. (3) Calculate the conformal and Hausdorff dimensions of the Cantor circles Julia sets. In particular, study the asymptotic formula of the Hausdorff dimension and the limit behavior of the Julia sets of McMullen maps as the parameter tends to zero (the Julia sets are Cantor circles in this case). (4) Study the parameter space of the hyperbolic rational maps whose Julia sets are Cantor circles, including the topological structure of the Cantor circles hyperbolic components, the number of this type of hyperbolic components and its estimation of bound, etc. The study of all the above questions would improve our understanding on the dynamics of rational maps.

本项目将研究Julia集为Cantor圆周的有理函数的动力系统。我们将深入研究下述问题：（1）在拟对称等价意义下，寻找Julia集为Cantor圆周的所有有理函数的表达式并对它们进行动力系统分类。（2）研究Cantor圆周型有理函数的Julia集连通分支的正则性。（3）计算Cantor圆周型Julia集的共形维数和Hausdoff维数。特别地，研究当参数趋向于0时，McMullen映射的Julia集（此时Julia集为Cantor圆周）的Hausdorff维数的渐近公式和Julia集的极限行为。（4）研究Julia集为Cantor圆周的双曲有理函数的参数空间，包括Cantor圆周型有理函数双曲分支的拓扑结构，该类型双曲分支的数目以及其上下界估计等。对上述问题的研究将有助于我们加深对有理函数动力系统的进一步理解。

本项目主要研究Julia集为Cantor 圆周的有理函数的动力系统。我们在拟对称等价意义下找到了所有Julia集为Cantor圆周的有理函数及其表达式并根据动力系统将它们分成了7类。对于Cantor圆周型Julia集的连通分支何时是一个拟圆周我们给出了充分必要条件的刻画。我们给出了当McMullen映射的Julia集为Cantor圆周时，其无穷远直接吸引域边界的Hausdoff维数的渐近展开公式。我们还对一大类的Cantor圆周型Julia集计算了它们的共形维数。对于Cantor圆周型Julia集对应的有理函数的双曲分支在参数空间的个数，我们给出了一个初等的计算公式。我们找到了一个本质上只有一个自由临界点的函数族，其Julia集为Cantor圆周，但动力系统与McMullen映射不是拓扑共轭的。此外，我们还给出了有理函数没有Herman环的一个充分条件，这对于研究只有一个自由临界点的有理函数族的Julia集的连通性非常有用。