有理函数非旋转Fatou域与不连通Julia集的结构

In this project, we will investigate some important problems in the field of the dynamics of rational maps. The project focuses on the following items. 1. Study the conformal structure of parabolic Fatou domains and try to construct a holomorphic model for a parabolic domain. Study the measurable dynamical systems and the topological properties of the holomorphic models of non-rotation Fatou domains. 2. Discuss the perturbation about the parabolic points of the rational maps with Cantor Julia sets and non-renormalizable polynomials. 3. Investigate the combinatorics and the topology of the complex type Julia components. Hope to prove that given degree bigger than two and a positive integer, there exsits a sub-hyperbolic rational map with the given degree such that the number of the cycles of complex type Julia components is the given integer. 4. Study the precompactness of Sierpinski hyperbolic components. Try to construct a Sierpinski rational with a precompact hyperbolic component by means of folding surgery. Discuss the analytic properties of Sierpinski hyperbolic components.

本项目致力于研究有理函数动力系统领域的重要问题，包括以下内容。 1. 刻画有理函数非旋转Fatou域的共形结构，包括对抛物域构造全纯模型；探讨非旋转域全纯模型的拓扑性质及可测动力系统；考察非旋转域游荡边界分支的拓扑性质。 2. 对Julia集是Cantor集的有理函数及不可重整多项式讨论抛物点扰动问题。 3. 研究有理函数不连通Julia集的组合结构和拓扑性质，包括对给定度大于2，尝试构造次双曲有理函数，使得它的复杂型Julia分支循环的个数是任意正整数；对具有不连通Julia集的一般有理函数，研究始终是复杂型游荡分支的存在性问题等。 4. 研究Sierpinski有理函数双曲分支的预紧性。尝试利用folding手术构造双曲分支预紧的临界有限Sierpinski有理函数；对一般的Sierpinski有理函数，研究其双曲分支的分析性质，期望解决Sierpinski有理函数双曲分支预紧性问题。

复动力系统是现代数学研究热点之一。长期以来，人们对多项式动力系统进行了广泛而深入的研究，并有相当深刻的理解。非多项式有理函数动力系统更加复杂，更难刻画，目前这方面的研究结果很少。本项目围绕有理函数动力系统领域的重要关键问题进行了深入研究和探索，并取得了一系列创新性成果。.. 我们刻画了不连通Julia集周期分支的拓扑结构，证明对d>2次几何有限有理函数，其复杂型Julia循环的个数可以是任意数。这是有理函数动力系统与多项式动力系统的一个本质区别。有理函数动力系统的重要工作之一是Thurston关于临界有限有理函数拓扑特征的相关理论。在这个工作中，Thurston提出了不变曲线族的概念。在此概念基础上，我们引入Cantor型曲线族，并利用Cantor型曲线族研究了临界有限有理函数Julia集的组合结构。我们对临界有限有理函数Julia集进行分解，将球面分解成两个完全不变的子集。一部分是由不可数多个Jordan曲线组成，这些Jordan曲线是Julia集的子集，其中大部分是游荡的。分解的另一部分是由有限多个重整化及其所有逆像分支，以及（可能出现的）不可数多个点构成。进一步，我们证明了作用在这些分解块上的商映射可以由dendrite动力系统来完全刻画。我们首次引入了一种新的构造有理函数的手术—Folding，利用这种手术我们构造了具有游荡Jordan曲线和给定重整的临界有限有理函数。我们深入考察了有理函数游荡连续统存在性问题，给出了临界有限有理函数具有分离型游荡连续统的充要条件，刻画了Lattes映射具有单连通游荡连续统的充要条件。从一个双曲函数出发的pinching序列，它的极限位于双曲分支的边界上，pinching序列限制在Fatou集和临界轨道上也一致逼近。我们证明如果双曲分支的一个边界点被一列双曲函数以上述形式一致逼近，那么这个边界点是双曲分支中一个pinching序列的极限点。