带奇性的希格斯丛及其模空间

Following Donaldson-Uhlenbeck-Yau theorem, there exists Hermitian Yang-Mills connection, i.e. Hermitian Einstein metric, on a holomorphic vector bundle if and only if this vector bundle is polystable. This is the so called Hitchin-Kobayashi correspondence. At the same time, the subcategory of semi-stable vector bundles also form a good moduli space, which is a finite dimensional scheme. A Higgs bundle is a vector bundle endowed with a Higgs field, which is similar with the usual vector bundle, nevertheless, has much more interesting features. For instance, the Higgs bundle has close connections with representation theory, number theory and the string theory in theoritcal physics. Moreover, the recent proof of the fundamental lemma in the Langlands program by Ngo reactivates the study of Higgs bundle. In this program, we focus on the properties of Higgs bundle over complex number field, including two major parts. First, we would like to consider the Hitchin-Kobayashi correspondence of Higgs sheaves and twist Higgs sheaves over some singular base manifolds and the moduli problems related. The stratage is resoluting the singularities of base manifolds and lift the whole problem to the parabolic Higgs bundles over smooth manifolds; Second, we want to study the singularity of the moduli space of stable Higgs bundles, and hope that the singularity can be approximated by the singular toric hyperkahler manifold locally.

根据Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理，全纯向量丛是否有厄米特杨-米尔斯联络，也就是厄米特爱因斯坦度量，归结为该向量丛是否具有多重稳定性，这便是著名的Hitchin-Kobayashi对应。同时具有稳定性的全体向量丛可以构成较好的模空间，是一个有限维的复概型。希格斯丛是向量丛外加一个希格斯向量场，它有与普通的向量丛类似，但更为丰富的性质，与表示论，数论，理论物理中的弦理论都有着密切的联系。特别是随着最近吴宝珠证明了有限域上Langlands对偶中的基本引理，Higgs丛又成为了研究的热点。我们着重研究复数域上的希格斯丛的相关性质，主要有：当底流形具有一定的奇性时，其上希格斯层的Hitchin-Kobayashi对应及其构成的模空间的性质，此时可以通过奇点消解将问题提升到光滑流形上的抛物希格斯丛上；以及稳定希格斯丛模空间的奇性，我们希望局部用有奇性的超凯勒环簇来刻画。

根据Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理，全纯向量丛是否有厄米特杨-米尔斯联络，也就是厄米特爱因斯坦度量，归结为该向量丛是否具有多重稳定性，这便是著名的Hitchin-Kobayashi对应。同时具有稳定性的全体向量丛可以构成较好的模空间，是一个有限维的复概型。希格斯丛是向量丛外加一个希格斯向量场，它有与普通的向量丛类似，但更为丰富的性质，与表示论，数论，理论物理中的弦理论都有着密切的联系。本项目主要研究了两方面内容，一是关于扭曲希格斯丛模空间的分层结构，二是抛物向量丛以及抛物希格斯丛相关的分析性质。其中，第二部分的研究有一定的难度，目前还在进行中。具体来说，1、考察扭曲希格斯对在杨-米尔斯流下的极限，利用Morse理论的研究方法，我们知道扭曲希格斯丛的模空间上有一个层化(stratification)结构。同时，在代数几何方面，我们知道，任给一个扭曲希格斯丛，也可以给出它的Harder-Narasimhan-Seshadri筛选(filtration)，而这一筛选也会诱导出模空间上的层化结构。我们证明了这两种层化结构实际上是一致的。所得成果已经写成论文：Convergence of Yang-Mills-Higgs flow for twist Higgs pairs on Riemann surfaces，发表在《中国科学——数学》杂志，第57期: 1657–1670页，2014年。2、我们也试图证明抛物向量丛的模空间由杨-米尔斯流和Harder-Narasimhan-Seshadri筛选导出的分层结构是一致的。抛物结构本质上是一个奇点附近增长率的条件，此时底流形实际上是非紧的，分析的难度远远高于普通的向量丛。我们现在计划在加权索伯列夫空间这一框架下来考虑特定一类抛物方程解的存在性和唯一性。该分析问题有着不小的难度，学术界还没有系统的研究。但它在镜对称以及特殊拉格朗日子流形等重要的领域都有现实或者潜在的应用，有着重要的意义。