关于哈密顿系统拉格朗日边值解最小周期及多重性问题的研究

Theory for Hamiltonian systems is an important tool to research classical mechanics, especially celestial mechanics. Periodic motion is the most simple way of motion of celestial bodies, which corresponds to the periodic solution of the Hamiltonian systems. With the deepening of the research, the open string is another important issue to the Hamiltonian systems, as well as the Hamiltonian systems with Lagrangian boundary conditions, also become one important research direction of many mathematicians. This project studies the properties of the Hamiltonian systems with Lagrangian boundary conditions, and focus on the minimal period and multiplicity problem. We will use the index theory i.e. the L-Maslov type index theory and iteration theory to this boundary solution to obtain some properties of the L-index, and then the further use of the obtained solution index properties to study the minimal period and multiplicity problem.

哈密顿系统理论是研究经典力学，尤其是天体力学的重要工具，周期运动是天体运动的最简单方式，它对应着哈密顿系统的周期解。随着研究的不断深入，开弦问题作为哈密顿系统的另外一种重要问题以及由此而产生出的哈密顿系统的拉格朗日边值问题，也成为了广大数学家的一个重要研究方向。本项目研究哈密顿系统拉格朗日边值解的有关性质，将重点研究其最小周期及多重性问题。我们考虑将指标理论即L-Maslov型指标理论及其迭代理论运用到该边值解得到其L-指标的一些性质，而后进一步利用得到的解的指标性质来研究其最小周期及多重性问题。

本项目研究哈密顿系统拉格朗日边值解的有关性质，重点研究其最小周期及多重性问题。主要将指标理论即L-Maslov 型指标理论及其迭代理论运用到该边值解得到其L-指标的一些性质，而后进一步利用得到的解的指标性质来研究其最小周期及多重性问题。主要对于次二次哈密顿系统拉格朗日边值解进行了研究，论文“The Study of First Order Subquadratic Hamiltonian Systems with Lagrangian Boundary Conditions” 得到了次二次哈密顿系统拉格朗日边值非平凡解的存在性及该解L-指标的相关性质。该成果推广了之前次二次哈密顿系统拉格朗日边值非平凡解的结果，并且在此成果的基础上运用L-Maslov型指标的迭代理论进一步研究了该次二次哈密顿系统及超二次哈密顿系统的拉格朗日边值解的最小周期问题。