关于Hamilton系统的边值解问题的研究

该项目以Hamilton系统为研究对象，考虑其两类边值问题。一类是周期边值问题，这是Hamilton系统的经典问题； 另一类是Lagrange边值解问题，此类问题与Lagrange流形的相交数以及Arnold Chord 猜想有重要关系。 Hamilton系统的brake轨道的多重性和稳定性也是重要问题，而固定能量面上的brake轨道问题本质上可以转化为Hamilton系统的Lagrange边值问题。该项目借助Morse理论、指标理论、变分法等经典的方法以及近几年发展的L-指标理论来研究Hamilton系统的Lagrange边值问题， 特别是固定能量面上的Lagrange轨道的多重性以及brake轨道的多重性和稳定性问题。研究能量面上周期解与Lagrange边值解对理解其解的动力学行为有重要意义。　本课题所研究的问题在数学领域，如非线性分析、动力系统以及微分方程等方面具有重要意义。

本项目研究了Hamilton系统的两类边值问题--周期边值问题和Lagrange边值问题。. 首先，研究了Hamilton系统的周期解问题。利用Galerkin逼近的方法以及Maslov型指标迭代理论的迭代不等式研究了Hamilton函数在非凸、无界、非一致强制的条件下的非自治的次二次Hamilton系统周期解的多重性，并对几何相异的周期解进行了有效的区分，上述结果推广了Rabinowitz在1987年关于次调和解的结果。. 其次，利用近几年发展的L-指标理论、辛容量等方法来研究了Hamilton系统的Lagrange边值问题， 特别是固定能量面上的Lagrange轨道以及brake轨道问题。 . 周期解是常微分方程中的经典问题，也是Hamilton系统问题中的经典问题，而固定能量面上的brake轨道问题本质上可转化为Hamilton系统的Lagrange边值问题，Hamilton系统的Lagrange边值解问题与Lagrange流形的相交数以及Arnold Chord 猜想有重要关系。研究Hamilton系统的周期边值问题与Lagrange边值问题对理解其解的动力学行为有重要意义。本课题所研究的问题在数学领域如非线性分析，动力系统以及微分方程等方面具有重要意义。