临界点理论及其在非线性偏微分方程中的应用

本项目拟研究临界点理论中一些最新方法，包括新的分裂定理和新的 Morse 不等式以及序区间和半个序区间山路定理，并且研究一些非线性方程中的一些前沿问题。具体研究包括：（1）研究新的临界点存在性理论并在此基础上研究非线性椭圆问题以及Hamilton系统多重解的存在性问题和分支问题。（2）建立新的单调公式以及Harnack微分不等式。（3）研究基态流形上带磁场的Poincare不等式。（4）研究Fucik 谱及相应泛函的临界点临界群计算和跳跃非线性问题。这些理论及应用包括许多具有挑战性的问题如区域高维情况下的 Fucik 谱线的基本性质的研究是长期以来人们关注的热点问题，几十年来进展甚微，我们希望利用一些新的思想和方法来研究这些问题。这些基本问题的研究和解决不仅会推动临界点理论本身的发展，而且从定性和定量两方面为研究非线性方程解的存在性，多重性以及变号性提供新的工具.

本项目针对非线性微分方程中的一些前沿分支所提出的理论问题研究非线性分析和临界点理论中的一些新课题，具体如下：(1) 引进一种更弱条件下的隐函数存在性定理，它是经典隐函数定理的发展，可有效的用于研究分支问题，这里只要求非线性映射在相应点开邻域的稠子集上是Frechet可微的。(2) 推广了经典的Poincare-Hopf定理和著名的Marino-Prodi定理，这本质上也是对Morse不等式的改进。(3) 研究具有更一般形式的跳跃非线性方程,计算对应的能量泛函在无穷远处临界群，并利用该结果获得跳跃非线性问题多解存在性。