GL(3)上L-函数亚凸性界及相关问题研究

The subconvexity problem is one of the central problems in analytic number theory. Now for L-functions on GL(1) and GL(2), there have been exciting breakthroughs. For GL(3) L-functions and L-functions on higher rank, the subconvexity problem is still open in general. In this project, we will combine modified delta-method with classical tools including Poisson formula, trace formula, Voronoi formula and large sieve inequality, to establish the subconvexity bounds for L-functions on GL(3). The starting point is to investigate the subconvexity for symmetric square L-functions. Furthermore, applying similar method, we will consider the subconvexity problems for L-functions on GL(3) and give general results, which will be beneficial for the study of QUE conjecture and the Generalized Lindelöf Hypothesis.

L-函数的亚凸性问题是解析数论的热点问题之一。对于GL(1)和GL(2)上的L-函数，其亚凸性问题已经得到了很大的突破。对于GL(3)和更高阶上的L-函数，目前仍有很多亚凸性问题悬而未决。本项目拟利用delta方法的新形式，结合Poisson公式、迹公式、Voronoi公式、大筛法不等式等经典工具，研究GL(3)上L-函数的亚凸性问题及相关问题。在该项目的研究过程中，拟以对称平方L-函数为切入点，探索其亚凸性界，并将研究方法推广至GL(3)上一般的L-函数的亚凸性问题研究中，从而推进QUE猜想和广义Lindelöf假设的研究。

自守L-函数的亚凸性问题是解析数论的研究热点之一，对其他数论问题的研究也有着重要的意义，是一个值得深入研究的课题。此外，几乎相等的华林-哥德巴赫问题以及Dirichlet级数的相关性质也是解析数论的关键问题之一。这些问题包含了经典数论问题以及自守理论的相关问题，对推进整数可表问题、QUE猜想、广义lindelof假设等数论问题有一定的意义。. 本项目主要研究内容如下：首先，研究了GL2和GL3上Rankin-Selberg L-函数的亚凸性问题及相关问题，以修正后的Delta函数的新形式为主要工具，突破常规方法的局限性，得到了相关结果；其次，本项目还研究了几乎相等的三次华林哥德巴赫问题，得到了素变量个数为5个和6个时的相关结论；最后，本项目还研究了一类特殊的Dirichlet级数的解析性质。. 上述问题的研究具有一定的理论意义。对于GL2和GL3上Rankin-Selberg L-函数的亚凸性问题，我们受印度数学家R.Munshi的启发，将Delta 方法推广到了更高阶的L-函数当中；对于几乎相等的三次华林哥德巴赫问题，对于素变量个数为5个的情况，我们采用新的方法得到相同的结论，对于素变量个数为6个的情况，我们改进了最新的结果；对于Dirichlet级数的研究，我们得到了此类级数的解析性质。