自守L-函数亚凸界估计的研究

Subconvexity bounds for L-functions is one of the central questions on automorphic L-functions, and has wide applications in number theory. Recently, many important results for GL(3) subconvexity bounds have been proved. The principle investigator has also did some research on this field. And we find that Stationary phase integrals are important to improve the subconvexity bounds for some GL(3) L-functions. In this project, we will study subconvexity bounds for some L-functions on GL(3) and GL(5). Firstly, we will study subconvextiy problems for self-dual L-functions and related Rankin-Selberg L-functions on GL(3). Secondly, we will use δ circle methods to study the t aspect subconvexity problems of general L-functions on GL(3). Thirdly, we will study subconvextiy problems for the 4th symmetric power L-functions on GL(5). Our aim is to prove or improve subconvexity bounds for above L-functions, and we will use these subconvexity estimates to study zero density and moments of such L-functions.

亚凸界估计是数论研究的核心课题。它揭示了自守L-函数的重要解析性质，在数论中有很多重要的应用。近年来，有关GL(3)上亚凸界估计的研究取得了一系列的突破。申请人与合作者在之前的工作也进行了相关的研究。我们发现，通过优化Stationary phase积分公式可以有效地改进GL(3)上某些L-函数的亚凸界估计。基于这些工作，本项目拟进一步研究GL(3)及GL(5)上一些自守L-函数的亚凸界估计。具体内容包括：1、研究GL(3)上self-dual L-函数及其Rankin-Selberg L-函数的亚凸界估计；2、利用δ-圆法研究GL(3)上一般自守L-函数关于t方面的亚凸界估计；3、探索和研究GL(5)上四次对称幂L-函数的亚凸界问题。本项目旨在证明或改进上述L-函数的亚凸界估计，并用以研究相关L-函数的零点分布及均值估计等问题。

亚凸界估计是数论研究中的重要课题，在很多数论问题中，如零点分布、模形式理论等，有着重要的应用。 在本项目中，我们主要研究了GL(3) self-dual L-函数在t方面及其Rankin-Selberg L-函数在spectral方面的亚凸界估计；同时，我们也研究了Rankin-Selberg L-函数的双重均值估计及其在相应的亚凸界中的应用；并在上述研究的基础上，我们也探索了GL(5)上L-函数的亚凸界问题。我们通过发展stationary phase等技术，改进了GL(3)上self-dual L-函数L(s,f)及其Rankin-Selberg L-函数L(s,f*g)的亚凸界估计，把相应的上界指数从11/16和11/8分别改进为2/3和4/3；在此基础上，通过对J-Bessel函数的余项的控制，以及对first derivative test的发展，进一步提升了上述亚凸界估计，把相应的上界指数改进为21/32和21/16；此外，我们也证明了相关Rankin-Selberg函数的非平凡的双重均值估计，并得到了相关的双重亚凸界估计。在上述研究中，我们发展的这些技术对于研究亚凸界估计及相关问题有一定的积极作用，为促进亚凸界估计的研究提供了可能的帮助。此外，我们对于双重均值估计的研究和探索也具有一定的理论和应用意义。