扭乘L-函数混合亚凸界及其相关问题

As one of three famous conjectures, the subconvexity problem is always being a research area in modern number theory. The hybrid subconvexity for twisted L-functions is a hot topic, which is of important significance to have a deep understanding of the automorphic L-functions. The un-controllabilities of the parameters associated to the forms and the involved underlying structures impose some constraints on the hybrid subconvexity problem. To deeply develop the information involving the derivation of the hybrid subconvexity and its strengthenment will therefore be an important topic when the levels (or conductors ) are allowed to vary independently. The project is aim to study the hybrid subconvexity problem and its related topics. We will mainly focus on level (or conductor) aspect subconvexity, with the aim to establish the admissibility between these parameters, to figure out the relations between the ranges of these parameters and the choices of the involved techniques, and finally give an effective way to enlarge the admissibility. Further, by develop the techniques like “Delta Method” and improve the relevant results like the estimates for the exponential sums of cusp forms, we will present the strengthened subconvexity bounds for twisted L-functions. In the meantime, we will push forward to the topic of subconvexity problem with factorable moduli to generalize or improve the corresponding results.

作为数论著名的三大猜想之一，亚凸界问题一直是当代数论研究的方向。其中扭乘L-函数的混合亚凸界是一个热门问题，对L-函数深层次认识与研究具有重要意义。各个对象参量之间的变化的不可控制性以及扭乘L-函数复杂结构，成为混合亚凸界问题的阻碍。深入剖析在扭乘的对象的级参量（模参量）背景下，亚凸界形成及其强度信息是研究亚凸界问题的重要方向。本项目旨在研究一类扭乘L-函数混合亚凸界及其相关问题。以级参量（模参量）方面混合亚凸界为研究核心，探索亚凸界产生关于参量之间的允许度，理清参量的范围与技术选择的导致关系，建立有效的方法来最大限度地扩大允许度。在发展“Delta 方法”等技术和改进傅里叶系数指数和等估计基础上，给出强的亚凸性上界估计。同时，推广至具有素数幂可分解模参量亚凸界问题，改进相应的结果。

作为数论中的三大猜想之一的广义林德勒夫猜想，一直是当代数论研究的方向。数学中一些基础而又重要的问题与L-函数的中心值具有重要的关联。本项目研究了扭乘L-函数混合亚凸界允许度研究，指数和参量的显示决定，亚凸界强度改机以及具有素数幂参量的混合亚凸界问题。对L-函数L(s,f *\chi)，L(s, \pi ×f ×\chi)和三重L-函数 L(s, f*g*h)建立了混合亚凸界; 对L-函数 L(s,sym^2 f× \chi) 建立了导子与权参量的混合亚凸界；发展研究几何上的自守表示，Adele自守表示及局部整体域自守表示相关理论，对称平方提升关于级参量的GL(3)上Voronoi公式的经典版本建立，借此对L-函数 L(s,sym^2 f×\chi)首次建立了关于导子与尖形式f的级参量的混合亚凸界; 对GL(2)上二次指数和涉及级参量给出非显然估计; 对GL(3)上对称平方形式，给出在平均意义下，级参量在线性指数和中的显示决定; 关于权参量的显式估计, 给出GL(2)上二次指数和显式估计。进一步，在先前工作基础上，首次给出对称平方提升涉及级参量的指数和估计。关于广义的Selberg类涉及算数函数指数和给出量性上界; 给出高维自守尖表示或者 Maass尖形式涉及L-函数，代数数域 K / Q 数上的Hecke L-函数等对应系数的指数和的量性估计。本研究的内容丰富了扭乘 L-函数混合亚凸界理论，深化混合亚凸界研究的相关技术并为后续进一步推广和改进模型奠定一定基础。研究结果在一定程度上为数论相关课题提供一定的理论借鉴，为数论尤为基本的重要猜想提供了启发性导向。本项目建立的各种设计亚凸界技术最优化选择，以“Delta”方法研究，为数论中其他基础问题、猜想提供相关的理论借鉴。对物理中一些实践问题，以及对量子物理乃至混沌理论等领域都有着积极的指导作用，产生了一定的经济价值和社会效益。