相关于算子的变指标函数空间实变理论及其应用

Many important problems in partial differential equations and fluid dynamics are attributed to boundedness of operators in certain function spaces with variable exponents. Characterizing the boundedness of operators depends on the real-variable theory of the corresponding function spaces with variable exponents. The applicant and his collaborators have established the real variable theory of Besov and Triebel-Lizorkin spaces with variable exponents, and Morrey type and Herz type Besov and Triebel-Lizorkin spaces with variable exponents, and applied them to the study of boundedness of multiplier and singluar integral operators. In this application, the applicant and his collaborators will establish some real-variable theory of variable Hardy spaces, variable Besov and Triebel-Lizorkin spaces assocated with linear operators which generate an analytic semigroup satisfing the Poisson estimate, second order divergence form elliptic operators, Schrodinger operators on Euclidean spaces, which includes characterizations in terms of atoms, molecules,various maximal functions,Littlewood-Paley functions and so on; as applications, the applicant and his collaborators will consider the boundedness of spectral multiplier, Riesz transforms and fractional integrals associated these operators on the corresponding function spaces with variable exponents, respectively and their applications to boundary value problems of corresponding equations.

偏微分方程与流体动力学中的许多重要问题均可归结为算子在某些变指标函数空间的有界性,而刻画这些算子的有界性离不开相应变指标函数空间的实变理论.申请人及其合作者已建立了变指标的Besov和Triebel-Lizorkin 空间及变指标的Morrey型和Herz型Besov和Triebel-Lizorkin空间的实变理论,并应用到乘子、奇异积分等算子有界性的研究中.本课题拟在欧氏空间上建立相关于解析半群满足Poisson估计的线性算子、二阶散度型椭圆算子、Schr?dinger型算子的变指标Hardy 空间、Besov和Triebel-Lizorkin空间的实变理论,包括其原子、分子分解特征,各种极大函数特征,Littlewood-Paley函数特征等;作为应用,研究相关于这些算子的谱乘子、Riesz 变换及分数次积分等算子在相应的变指标函数空间上的有界性,并将其应用于相应方程的边值问题研究中.

本项目主要研究相关于解析半群满足Poisson估计的线性算子、二阶散度型椭圆算子、Schrödinger型算子的变指标Hardy、Besov和Triebel-Lizorkin空间的实变理论及其应用。这些算子是分析学与应用中的重要算子。主要成果如下: 得到了变积分指标、变求和指标、变光滑指标的Herz-Morrey型Hardy空间的原子分解和分子分解特征；及一些卷积型的奇异积分算子在这些空间上的有界性。借助于变指标帐篷空间, 得到了相关于热核具有点态上界的算子的变指标Hardy空间的分子特征及对偶空间理论。建立了相关于非负自伴算子的变指标Hardy空间的原子特征及非切向极大函数特征。建立了欧氏空间上变指标Hardy空间的Riesz变换特征刻画、Littlewood-Paley实变特征和内蕴平方函数特征刻画; 建立了欧氏空间上变指标Hardy空间的对偶空间和变指标Campanato空间的关于内蕴函数的Carleson测度刻画。建立了变指标弱Hardy空间的径向和非切向极大函数、原子、分子和Littlewood-Paley实变特征刻画; 作为应用, 得到了卷积和非卷积型Calderón-Zygmund算子在临界情形时, 从变指标Hardy空间到变指标弱Hardy空间上的有界性。在具有无穷测度的RD-空间上引进了变指标Hardy空间, 建立了该空间的非切向和二进极大函数、原子和Littlewood-Paley实变特征刻画; 作为应用, 建立了关于分数次积分算子的Olsen不等式并得到了奇异积分算子和拟Banach值次线性算子在此空间的有界性; 并得到了该空间的对偶空间。建立了既有变积分指标又有变光滑指标的Besov型和Triebel-Lizorkin型空间的φ-变换特征刻画, 光滑原子以及极大函数等特征刻画; 及他们的迹定理。得到了在双倍测度空间上与非负自伴算子相伴的既有变积分指标又有变光滑指标的Triebel-Lizorkin空间的极大函数刻画和原子分解刻画。得到了向量值的多重线性Calderón-Zygmund算子,以及它与BMO函数生成的交换子在一些变指标空间上的有界性。这些成果回答了一些公开问题，为变指标函数空间在其他方向的应用提供了基础。共发表SCI检索论文27 篇，引用35次。