现代调和分析及其在PDE和信息科学中的应用

Harmonic analysis is an important part of the modern mathematics. Its theory and methods have become indispensable tools in the study of the partial differential equations and information science.With its developing and improvement day by day, Harmonic analysis will play decisive roles in the study of the partial differential equations and information science. The main purpose of the programm is to develop modern theory of harmonic analysis related to the partial differential equations and information science, such as Littlewood-Paley decomposition,Bony paraproduct decomposition, function space theory,the maximal principle and harmonic extension of the harmonic function,Fourier localization in frequency space, compressed sensing and harmonic analysis in Galois field. Then we use these methods and tools to study local well-posedness and global well-posedness of nonlinear dispersive equations,the existence and blow-up of solutions to fractional nonlinear Schr?dinger equation and fractional nonlinear diffusion equations,the blind recognization of several classic channels. This programm is of great importance in theory as well as extensive perspective in application.

调和分析是现代数学的重要组成部分，其理论与方法已成为偏微分方程与信息科学等领域中不可缺少的工具。随着现代调和分析理论的发展和逐步完善,它在偏微分方程、信息科学的研究中将起着决定性的作用。本课题的主旨是将Littlewood-Paley分解、Bony的仿积分解、函数空间刻画、调和函数的极值原理和调和扩张、Fourier 频率局部化、压缩感知方法和有限域上的调和分析等方法和工具应用到偏微分方程、信息科学等问题的研究，着重发展与偏微分方程、信息科学密切相关的调和分析现代理论，然后，用于研究非线性色散方程的局部适定性和整体适定性、分数阶非线性Schr?dinger方程和分数阶非线性扩散方程解的存在性和爆破现象、信道编码和信道解码，实现几种典型信道编码参数的盲识别，这是一个既具有重要理论价值，又有广泛的实际应用前景的课题。

本项目着重发展与偏微分方程、信息科学密切相关的调和分析现代理论，为偏微分方程提供新的工作空间和框架，为研究偏微分方程解的存在性提供线性估计和非线性估计; 发展压缩感知方法和有限域上的调和分析工具,为信道编码和信道解码提供方法与工具。(一) 调和分析现代理论研究，(1) 研究了相关于2维Benjamin方程的第二代Bourgain空间及其短时空间，研究了这些空间的Littlewood-Paley刻画。 (2) 建立了相关于2维Benjamin方程的第二代Bourgain空间上多线性算子估计。 (3) 研究了压缩感知方法和有限域上的广义Fourier 变换。（二）研究了调和分析在偏微分方程中的应用，建立了2维Benjamin方程在能量空间和低正则空间的适定性、分数阶非线性Schrödinger方程和分数阶非线性扩散方程解的存在性和爆破现象。（三）研究了调和分析在信道编解码中的应用，建立了信道编解码平台；研究并实现了分组码参数的盲识别；基于Walsh-Hadamard变换求解容错线性方程组的方法，实现对(2,1,m)的卷积码的有效识别，同时把低码率卷积码的盲识别推广到任意码率卷积码的盲识别，这是卷积码盲识别的一个重要进展。实现对卷积交织、分组交织、螺旋交织等几种典型交织参数识别技术，在算法、计算复杂度达到国内先进水平。设计并完成了噪声信道环境下的交织和解交织模拟平台；结合分组码、卷积码、删除卷积码的识别技术，结合卷积交织参数识别技术实现了DVB-S中信道编码的参数识别。