基于信号的不完全信息实现信号的重构与逼近的理论和算法研究

Compressed sensing is a new sampling thoery. Based on the sparsity or compressibility of signals, it achieves exact or stable recovery of high dimentional signals via sampling data much below Nyquist rate and nonlinear optimization algorithms.Compressed sensing broke through the limitation of traditional Shannon sampling theorem and achieve further development and innovations by changing the sampling mode. The main purpose of this project is to focus on three fundamental problems: I. How many measurements are needed to.recover an object of interest? II. How is recovery possible from a minimal number of measurements? III. Are there tractable algorithms to retrieve information from condensed measurements? We devote to study and develop reconstruction theory and algorithms for signals and images, mainly for the recovery of signals and images with special structures, including signals with prior support information and signals with block sparse structure, images with special structure and low rank matrices. This programm is of great importance in theory as well as extensive perspective in application.

压缩感知作为一个新的采样理论，基于信号的稀疏或可压缩性，通过远低于奈奎斯特采样率的采样数据和非线性优化算法实现高维信号的精确或稳定恢复。压缩感知理论突破了传统香农采样定理的局限性,通过改变数据采集模式，实现了传统理论的进一步发展与创新。本课题的主旨是围绕压缩感知的几个基本问题：I、恢复原始信号需要多少测量？II、如何从最少的测量中恢复原始信号？III、是否有从压缩测量中获取信息的有效算法？着重研究与发展稀疏信号或图像重构的理论和快速算法，重点研究几类具有特殊结构的信号与图像的恢复，包括具有先验支集信息或具有块稀疏结构的信号、具有特定结构的图像、低秩矩阵的恢复。这是一个既具有重要理论价值，又有广阔的实际应用前景的课题。

压缩感知作为一个新的采样理论，基于信号的稀疏或可压缩性，通过远低于奈奎斯特采样率的采样数据和非线性优化算法实现高维信号的精确或稳定恢复。本课题基于压缩感知的理论与方法着重研究与发展稀疏信号或图像重构的理论和快速算法，取得一系列研究成果。共发表论文25篇，其中SCIE论文23篇，多篇论文发表在IEEE Trans. Information Theory，SIAM J. Imaging Sciences和Inverse Problems等相关领域顶级刊物和权威刊物上。重要结果包括：1、建立了具有先验支集信息的信号恢复条件的RIP完全刻画，填补了已有恢复条件的空缺；2、建立了适用于l1-l2正则的稀疏分解技术，利用该工具建立了新的RIP分析，解决了论文（SIAM J. Imaging Sciences（2017）, 10, 1346-1380）中提出的公开问题；3、针对图像的重构，研究了多种稀疏性表示方法和优化算法。基于图像在梯度变换域下稀疏并且低秩, 提出了CTV模型, 并给出了具体的求解算法。 这些成果为数据分析开辟了新途径，为数据的稀疏表示和稀疏信号和图像的恢复提供新方法。