几类椭圆型和抛物型方程的定性分析

This project aims to investigate qualitative properties of solutions to some partial differential equations (PDEs) using the theories and approaches from nonlinear functional analysis (such as variational methods, Radon measure, topological degree, bifurcation theory, etc), elliptic and parabolic PDEs as well as dynamical systems. The main content to be studied includes: (1) the asymptotic behavior of the principal eigenvalue and its eigenfunction eigenvalue problems of linear elliptic and time-periodic parabolic PDEs when a degenerate advection is large and its applications to nonlinear problems; (2) the theoretical analysis of cooperative, competitive and predator-prey systems with spatiotemporal degeneracy, such as existence, nonexistence, multiplicity, stability of positive time-periodic solution, the asymptotic behavior with respect to a certain parameter as well as the long-time dynamics of solution to the corresponding initial-boundary value problems; (3) the Gierer-Meinhardt system, its steady state problem and shadow counterpart with the main focus on global existence, finite time blow-up of solutions and formation of Turing pattern in the case of critical values. This project can contribute to the development of theory and approaches of nonlinear functional analysis, elliptic and parabolic PDEs and dynamical systems. The theoretical results to be established in this project can also provide a better understanding that how various kinds of environmental factors affect coexistence and extinction of species.

本项目拟利用非线性泛函分析（变分方法、Radon测度、拓扑度、分支理论等）、椭圆型和抛物型方程以及动力系统的相关理论和方法研究几类偏微分方程解的定性性质。主要内容包括：（1）线性椭圆型和周期抛物型特征值问题，研究退化性大对流对主特征值和特征函数的渐近行为的影响及其在有关非线性问题中的应用；（2）具有时空退化性的合作型、竞争型和捕食型方程组解的性态，例如正周期解的存在性、不存在性、多解性、稳定性、关于参数的渐近行为以及对应的初边值问题的动力学行为；（3）Gierer-Meinhardt方程、对应的shadow系统以及平衡态问题，重点考虑临界指标情形解的爆破、整体存在性、Turing斑图生成等。期望本项目的研究对于非线性泛函分析、偏微分方程和动力系统的理论发展起到一定的促进作用，同时期望所得理论结果进一步揭示各种环境因素对生态种群生存、灭绝新的有意义的影响。

我们项目的主要研究内容是具有重要背景的抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程。关于时空非均匀、时间周期的抛物方程，我们系统的研究了周期抛物主特征值问题，引入了新的数学思想和方法，克服了参数退化性、 时空奇异性、 时间非自治性等带来的非平凡的数学困难。特别地，对于线性问题，我们解决了椭圆型、周期抛物特征值的主特征值关于小扩散、对流的渐近行为，发掘了新的处理技巧，获得一系列新的结果，解决了一些公开问题；对于非线性问题，我们阐明了时空奇异性、退化性、对流等因素对解的性态如大时间行的实质性影响。在传染病问题方面，在一系列工作中我们研究了几类SIS模型，给出了新的基本再生数定义和由该数确定的解的门槛动力学结构，获得了控制疾病的最优策略；另外，我们获得了对应的稳态椭圆型方程组正解关于小扩散、大对流等情形解的精确的集中行为。..本项目的研究对于非线性泛函分析、偏微分方程和动力系统的理论发展起到了一定的促进作用， 同时所得理论结果进一步揭示了各种环境因素对生态种群生存、灭绝新的有意义的影响。已在国际重要杂志发表科研论文22篇（含3篇接受待正式发表）。主要发表在《Annales de l'Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire》、《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》、《Transactions of the American Mathematical Society》、《SIAM Journal on Mathematical Analysis》等偏微分方程领域主流期刊上。