若干偏微分方程的高精度数值方法研究及其应用

We mainly study the high precision numerical methods of conservation law(s), Hamilton-Jacobi equation, the telegraph equation and convection dominated partial differential equation, which arise from some biological model and the model for urban cities, in the project. Here the nonlinear term, the \delta-singularities, and the irregular boundary area make the high precision simulation for them to be difficult. On the base of the weighted essentially non-oscillatory method, discontinuous Galerkin finite element method and other popular numerical methods, we will make further analysis and research for the high precision numerical methods, especially for the design of the high precision numerical methods to further close to the problem characteristics, the accuracy and stability. At the same time, we need to construct the robust numerical method for the model, which includes the nonlinear, coupling, and some definite conditions given at the end time, to solve the practical problems in the field of biology and traffic flow.

本项目主要研究一些生物模型和城市交通模型中涉及的双曲守恒率方程（组）、Hamilton-Jacobi方程、电报方程和其它对流占主导的偏微分方程等的高精度数值方法。这些问题中含有非线性项、\delta 函数，以及计算区域不规则导致的边界以任意形式与网格相交等难以进行高精度数值模拟的内容。我们将以加权本质无振荡方法、间断Galerkin有限元方法和其它流行的数值方法为基础，以设计贴近问题特性的高精度数值方法和稳定性精确性分析为核心，开展深入系统的分析研究；同时，克服模型的高度非线性、耦合、以及部分定解条件为结束时刻的值等带来的困难，构造健壮的数值方法，解决生物学和交通领域中的具体问题。

本项目主要研究了偏微分方程的目前流行的一些高分辨率数值方法和不规则计算区域边界条件的高阶数值逼近、城市交通和机动车污染问题的可计算建模与数值模拟，以及若干生物模型的理论与数值研究。.具体地说，我们研究了DDG方法、交错网格上的CDG方法的超收敛性；设计了MHD方程的一种保熵稳定的DG方法；在柱坐标下，针对三维MHD方程发展了局部散度为0的谱-DG方法。针对双曲守恒率方程（组）、扩散方程和对流扩散方程，发展并构造了不规则计算区域边界条件的高阶数值方法。在交通污染与生物问题研究方面：对各向异性的城市动态交通流问题进行了可计算建模及数值研究。在此基础上，进一步建立了由守恒律，Hamilton-Jacobi方程和含 函数源项的对流-扩散方程组成的城市中机动车尾气引起空气污染的连续模型。设计了稳健的数值方法，进行了有效的数值模拟。同时，对生物领域中的生物细胞增殖模型、随机游走模型，以及多类竞争模型系统的动力学进行了理论与数值研究。