分数阶偏微分方程高精度数值方法的研究

In this project, we mainly investigate high-order numerical methods of fractional partial differential equations (i.e. spectral method). Thanks to the nonlocal nature of fractional operator, spectral method can reduce storage cost largely and converge exponentially. Spectral method is one of the most important methods in numerical computation. Specifically, we mainly investigate the following questions:.(1) We will investigate existense, uniqueness and regularity of fractional partial differential equations of two dimension..(2) We will propose parallel algorithms to solve fractional partial differential equations numerically and prove the convergence analysis..(3) We investigate the relationship between the eigenvalue of fractional diffusion operator, fractional advection diffusion operator and fractional integral operator and the order N..(4) We investigate the fast solver of fractional partial differential equations on unbounded domain and prove the convergence analysis..(5) We investigate the LBB condition of Stokes problem..The investigations of these problem can help us understand related topics in fractional partial differential equations. Furthermore, these methods can be applied in engineering area.

本项目主要研究分数阶偏微分方程的高精度数值方法(即谱方法). 由于分数阶算子是非局部算子，谱方法可以大大降低存储代价且具有很高的精度. 目前是数值计算中的主要方法之一. 具体地说，本项目主要对以下五类问题展开研究：.(1) 研究二维分数阶偏微分方程解的存在唯一性及正则性..(2) 提出采用时间空间并行算法对二维分数阶微分方程进行数值求解及收敛性分析..(3) 研究分数阶扩散算子、分数阶对流扩散算子及分数阶积分算子的离散特征值与离散阶数N的关系..(4) 研究无界区域上分数阶方程的快速算法及其收敛性..(5) 研究Stokes问题的LBB条件..通过这些问题的研究，可以对分数阶的理论和数值计算及相关问题有更加深入的了解，这为分数阶方程及相关问题在工程领域上的应用打下坚实的基础.

分数阶偏微分方程的高精度数值方法是当前计算数学研究的热点之一，本项目结合国内外关于高精度算法的实际以及项目负责人和项目参与人的特长，主要研究了以下问题：.1. 本项目通过利用退化核来逼近奇异核，构造了分数阶偏微分方程的分层矩阵来表示谱元法的刚度矩阵，给出了分数阶偏微分方程的快速计算方法并进行了误差估计；.2. 本项目利用并行方法结合谱配点法和有限差分法求解分数阶偏微分方程并进行了收敛性分析；.3. 本项目利用标量辅助变量（SAV）法及高精度方法（谱方法）求解非线性偏微分方程并进行了收敛性分析；.4. 本项目证明了充分深度的ReLU网络最终会梯度消失。对此，本项目提出了一个新的初始化策略：随机反对称初始化，并证明了这样的初始化方法可以有效阻止ReLU网络的梯度消失的现象，并通过数值例子说明了该方法的有效性；.5. 本项目研究了非负组合曲率平面图的正曲率的最大顶点数，证明了最大顶点数为132，并构造了最大顶点数为132的图的例子；还研究了非负组合曲率平面图的全曲率问题，证明了其最小正全曲率为1/12。.该项目关于分数阶方程的快速算法以及标量辅助变量方法大大提高了求解偏微分方程的效率，这为将来在科学与工程计算的应用打下基础；而关于机器学习梯度消失问题的研究则对深度神经网络的设计提供了重要的指导意义；平面图的全曲率和顶点数的研究是离散几何中深刻的结果，具有重要的理论意义。.该项目执行期间共完成标注受本项目资助的论文10篇，其中SCI论文7篇，EI论文3篇，超过预期目标，并且有多项研究成果发表在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》、《Advances in Mathematics》和《Journal of Computational physics》等重要国际学术期刊上。