新型数值方法研究及在交通流中的应用

本项目主要是对各种新型间断Galerkin类有限元方法和各类静态Hamilton-Jacobi方程的快速扫描法等新型数值方法开展深入系统的研究，特别是具有良好性质的交错网格上的中心间断Galerkin类有限元方法；在此基础上，构造稳定高效适用的数值方法，尤其是针对交通流中双向行人流动的动态宏观模型和模拟城市道路网络的动态连续模型所涉及的双曲守恒率、静态Hamilton-Jacobi方程和带时间的Hamilton-Jacobi方程。模拟双向行人流动的动态宏观模型和模拟城市道路网络的动态连续模型都是耦合的、高度非线性的偏微分方程组，其数学性质（如：适定性）不是完全清楚，稳定高效的数值方法的设计存在很大困难。本项目将结合各种数值方法的优势，为这类模型构造稳定高效的数值方法，开展数值分析研究，以期满足实际需求。

在交通流、流体力学以及生物学领域有广泛应用背景的双曲方程（组）、扩散方程和Hamilton-Jacobi方程的高阶高分辨率数值方法的构造和研究一直是计算数学领域热点问题之一。在新型数值方法研究方面，基于间断Galerkin有限元方法和WENO方法，我们针对这些方程，构造了一系列具有显著特色的新型高阶高分辨率数值方法（如：交错网格上的中心局部间断Galerkin方法、曲线坐标上保持自由流格式、保正格式等）；同时，对一系列新型数值方法进行了定量或定性分析研究与比较。. 行人流动问题是交通流领域的热点和难点之一，广泛存在于城市交通和人员疏散之中。本项目除成功数值再现了双向行人流动中LANE形成现象以外，对含有一个商业中心的城市行人流动问题建立了以高度非线性，且耦合的守恒律和Hamilton-Jacobi方程为控制方程的适定的模型。由于遵循Hamilton-Jacobi方程的旅行花费的初值未知，只能给出结束时的值，使得数值模拟变得更困难。通过精心为它们设计有效的自适应数值方法，我们成功地模拟了含有一个商业中心和一个障碍物的城市中的人员在给定的时间内全部进入商业中心的过程。. 上述工作主要发表在SIAM Journal on Scientific Computing，ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis (M2AN)，Journal of Scientific Computing, Transportation Research Part B等相关专业国际高水平刊物上。在项目执行期间，共发表论文10篇，另有1篇被接收; 培养博士毕业生2人，硕士毕业生2人，出站博士后1人。