新型间断有限元方法的设计研究与应用

This project is aimed at further studying a few new discontinuous Galerkin finite element methods for diffusion equations, convection diffusion equations, MHD equations, etc., firstly. These time dependent partial differential equations are the governing equations of physical models of oil and gas reservoirs, car exhaust gas diffusion, and fusion plasma physics. They contain high-order nonlinear derivatives, and / or source terms involving delta functions. High order accurate numerical solutions of these equations often involve severe spurious numerical oscillations, which may lead to the failure of the algorithm. The solutions of the ideal MHD should automatically satisfy the divergence-free condition if the initial datum is divergence-free. However, in numerical simulations, the numerical error produces numerical magnetic divergence, which often leads to serious artifacts. Based on the framework of discontinuous Galerkin finite element methods, we will develop new high resolution and robust numerical algorithms to overcome the difficulties from the nonlinearities and singularities of the governing equations, and the .rapid changes of the solution, the vacuum boundary, and divergence-free .constraint of the magnetic field arising from application problems. We.will also use these new methods to perform numerical study for solving.application problems from the traffic and environment pollution, oil shale gas and plasma physics.

本项目首先对扩散方程、对流扩散方程、MHD方程等时间依赖的偏微分方程（组）的若干新型间断Galerkin有限元方法开展进一步深入系统的分析研究；这些方程（组）分别是裂缝性油气藏，汽车尾气扩散，以及聚变等离子物理中若干模型的控制方程。它们分别含有高阶非线性导数项和含 函数的源项。这些方程的高精度数值解常常产生剧烈的数值振荡，以致计算崩溃。对于理想MHD方程，若初始磁场散度为0，则其解自动满足磁场散度为0。但是在数值模拟中，数值误差产生数值磁散度，经常带来严重的虚假结果。我们将以新型间断Galerkin有限元方法为基础，分别克服控制方程的非线性和奇异性，以及实际问题中：解在短时间内变化巨大、真空边界，以及数值磁场散度等给数值模拟带来的困难，设计高分辨率健壮的数值方法，开展数值研究。同时，我们将其用于解决交通与环境污染、石油页岩气、以及等离子物理中一些具体问题。

围绕若干时间依赖的偏微分方程，本项目开展了多种间断 Galerkin有限元方法（简称DG方法）的设计、理论研究与数值模拟；主要工作有：1)经典的DG方法：将DG方法与多种有限差分格式的声学分辨性进行分析比较，结果表明：对气动声学问题的数值模拟，DG方法有很好的前景。通过构造特殊投影，得到了线性和非线性二维双曲守恒律方程的经典DG方法最优的2误差估计。此外，对线性双曲方程的带中心流通量的DG方法，在非均匀网格上证明了用偶数阶多项式近似，其L2范数下具有次优收敛性。在均匀网格上给出了一维和多维中任意元最优误差估计；且证明了一维线性薛定谔方程的极弱型DG方法的超收敛性。2)交错网格上的中心DG方法：针对高维线性双曲问题，结合稀疏网格思想，设计了新的嵌套基函数，构造了可以处理非周期边界问题的交错网格上中心DG方法。相比经典DG方法，它具有更加高效，且储存量少、大时间步长、计算量少的优势。针对非线性守恒率方程，通过设计具有超收敛性的局部投影，得到了交错网格上中心DG方法的最优先验 2 误差估计。针对广义KdV方程，结合极弱DG方法的思想，构造了两种形式的交错网格上中心DG方法。分别给出了线性情况的 2 稳定性证明和非线性情况的先验 2 误差估计。对于波动方程，构造交错网格上中心DG方法，并进行了一维和多维分片元稳定性分析和最佳误差估计。3)保结构DG方法：针对一维粘性磁流体力学方程，构造了保正的高阶DG方法；并进行了理论证明。对高维情况，通过引入 Godunov源项，结合局部无散度的间断 Galerkin 有限元方法和保正的限制器使数值解保持正性。针对托卡马克装置中撕裂模演化问题，构造了三维电阻磁流体力学方程的局部无散度的谱-LDG方法，编写了并行程序，进行了数值模拟，得到了预期的结果。