有限差分移动网格WENO格式研究

Finite difference WENO schemes when applied to adaptive environment will encounter the following difficulties: 1) it should be used in uniform mesh or curvilinear mesh and the transformation of mesh cannot be too large 2) the mesh should be smooth in both space and time. 3) the Jacobian matrix from physical space to computational space should have the same accuracy with WENO schemes. In order to solve the above troubles, we try to construct a kind of finite difference moving mesh WENO method. The advantages of the new schemes are: 1) its accuracy can reach to fifth order 2) it can have more higher resolution near shock 3) to reach the same accuracy, this scheme can use fewer mesh points. At present, the work of moving mesh WENO scheme to solve one-dimensional hyperbolic conservation laws has been completed. At the same time , we have successfully applied moving mesh method to equilibrium radiation diffusion equations. In the future, we will apply moving mesh WENO scheme to two-dimensional case. By the way, in order to complete the theory basis, we will begin the work of stability analysis of moving mesh WENO method. This project is a useful exploration in moving mesh WENO schemes's fields.

有限差分WENO格式在自适应环境下应用有如下困难:1)网格必须为均匀网格或渐变网格，而且网格的变化不能太大；2)网格在时间和空间上都必须充分光滑;3)从物理空间到计算空间的Jacobian矩阵，其精度要与WENO格式的精度相匹配。从解决以上困难的角度出发，我们努力构造一种基于有限差分方法的移动网格WENO格式。该格式具有以下优点:1)格式精度可以达到五阶;2)数值解在间断附近具有更高的分辨率;3)达到相同精度所使用的网格点更少。目前，有限差分移动网格WENO格式求解一维双曲守恒律的工作已经结束。同时，作为移动网格方法的应用领域的扩展，我们已经成功将移动网格方法应用到平衡状态辐射扩散方程中。在未来的时间里，我们努力将移动网格WENO格式推广到二维双曲守恒律中。为了完善该方法的理论基础，我们即将开展移动网格WENO格式的稳定性分析。本项目是在移动网格WENO格式领域内的一项有益探索。

本项目主要研究自适应移动网格方法在有限差分WENO格式和非平衡辐射扩散方程中的应用。在有限差分移动网格方法求解非平衡辐射扩散方程中的研究中，我们使用基于移动网格偏微分方程（MMPDE）的移动网格方法来求解多物质，非平衡辐射扩散方程的2T模型问题。该模型涉及到非线性的扩散系数的处理以及整体数值格式的保正性问题，以上两点给我们的数值格式设计带来了极大的挑战。为克服以上困难，我们给出一种冻结系数的预测矫正格式来处理非线性扩散系数，同时给出一类截断方法(cut-off method)用来实现数值格式的保正性问题。另外，我们使用了一种两层移动网格技术极大地提高了整体计算效率。数值结果显示，我们的移动网格方法能使用充分的网格聚集程度来很好的捕捉Marshak波的灼烧热前锋的轮廓，同时还能很好地捕捉到Marshak波的细微局部结构。已得到的数值结果与已有的文献中的数值结果吻合的很好。最后，我们还对正规网格，自适应移动网格和两层移动网格技术之间进行了CPU时间和计算效率方面的对比。结果显示，两层移动网格能极大地提高整体计算效率，大幅降低CPU计算时间。在移动网格的有限差分WENO格式的研究探索中，我们对MMWENO格式的线性稳定性进行了深入的研究，主要使用了冻结系数方法。研究结果显示，我们的线性稳定性条件与已有的文献符合的很好。同时，我们还对MMWENO格式的非线性稳定性进行了有益的探索，主要使用的方法为泰勒级数展开法。最后，我们还尝试使用能量稳定方法对有限差分simple WENO格式的稳定性进行了初步的探索。