非均匀网格上的高精度紧致差分格式及其多重网格算法研究

高精度紧致差分格式与多重网格方法相结合是实现偏微分方程精确高效求解的有效手段之一。由于目前已有的的高精度紧致格式及其多重网格算法通常采用均匀网格，在求解大梯度或边界层等问题时，往往需要在整个计算域内将网格划分的很细，是很不经济的，因此发展非均匀网格上的高精度紧致格式及其多重网格算法具有重要的理论价值和实际意义。本申请基于我们已经建立的椭圆型、双曲型和抛物型方程均匀网格上的高精度紧致格式及其多重网格算法的研究基础之上，拟建立其在非均匀网格上的高精度紧致格式(包括多项式型和指数型两种)及其多重网格算法(包括非均匀网格上多重网格方法新型的限制算子、插值算子、松弛算子以及细网格的粗化方法)，并进而将之推广到不可压N-S方程组的数值求解中去。本研究可为各类偏微分方程的数值求解(特别是大梯度或边界层等问题)以及高雷诺数或高瑞利数下不可压流体流动与传热问题的数值模拟，提供精确、稳定和高效的数值计算方法。

本项目按照申请书原订计划，对非均匀网格上的高精度紧致差分格式及多重网格方法进行了研究。所针对的微分方程包括椭圆型、双曲型和抛物型三种类型，主要完成了如下工作：1.针对二维和三维椭圆型方程（主要包括Poisson方程和定常对流扩散方程）建立了非均匀网格上的高精度紧致差分格式及多重网格算法，构造了新型的限制算子、插值算子以及部分半粗化的多重网格循环算法，并讨论了不同的网格伸缩参数对计算结果的影响。进而将方法推广到定常不可压涡量-流函数形式和涡量-速度形式Navier-Stokes方程组的求解，并对二维驱动方腔流问题进行了数值模拟。2.针对线性双曲型方程建立了非均匀网格上的高精度紧致差分格式，对一维问题建立了三层全隐格式，由于每个时间层仅用到了三个网格点，因此可以采用追赶法直接进行求解；对二维和三维问题建立了交替方向隐式（ADI）格式，转化为若干一维问题进行求解，无须迭代。格式时间均具有二阶精度，空间均具有三至四阶精度，并且是无条件稳定的。3.针对抛物型方程（主要是非定常对流扩散方程）建立了非均匀网格上的高精度紧致差分格式，对一维问题建立了两层和三层全隐格式，对二维问题建立了三层全隐格式和ADI格式。其中对二维问题的三层全隐格式，建立了多重网格算法，加快了每一个时间层上的迭代收敛速度，提高了求解效率。4. 针对二维非定常不可压涡量-流函数形式和涡量-速度形式Navier-Stokes方程组，建立了非均匀网格上的高精度紧致差分格式及多重网格算法，对有精确解问题和驱动方腔流问题进行了直接数值模拟。5.建立了一至三维定常对流扩散方程非均匀网格上的指数型高精度紧致差分格式，以及三维非定常对流扩散方程的多项式型、指数型和有理型的高精度紧致ADI差分格式，其时间均具有二阶精度，空间均具有四阶精度，并且是无条件稳定的。6.针对二维和三维对流扩散方程均匀和非均匀网格上的高精度紧致差分格式，构造了以FGMRES（20）作加速器，ILUT 作预处理器的预条件Krylov子空间方法，并将之推广用于二维不可压涡量-速度形式Navier-Stokes方程组Dirchlet边值问题的数值求解。研究结果在核心以上级别刊物上发表论文19篇，其中被SCI检索3篇，EI检索2篇。参加了两次计算数学方面的国际学术会议，并有一次作45分钟大会特邀报告。以本项目内容做选题，指导6名研究生完成了硕士学位论文。