带Hardy位势的薛定谔方程驻波解的轨道稳定性

Applying the ideas and methodology developed in nonlinear analysis and partial differential equations, this project investigates the orbital stability and strong instability of standing waves for the nonlinear Schrodinger equations with Hardy potentials, one of the emphases for the research is the case of the critical Hardy potential. We will systematically study the variational characterization, existence, uniqueness, decay rate of standing waves, ground state standing waves and normalized standing waves for this class of equations; then we will establish some new blow-up criteria for this class of equations and obtain the orbital stability and strong instability of standing waves. On this basis, our goal is to establish some new frameworks and methodology that can manifest the characters of this class of equations to describe the standing waves. The results of this project will deepen the understanding of the impact of the critical Hardy potential on the properties of solutions, and will play an important role in the study of other problems for this class of equations.. Professor Xiaochuan Liu and Binhua Feng apply this program together. Binhua Feng will be invited to visit professor Liu at Xi’an Jiaotong University during the period of this project. We will investigate these problems together.

本项目将发展非线性分析和偏微分方程的思想和方法研究带Hardy位势的非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性以及强不稳定性，重点研究临界Hardy位势的情形。我们将系统地研究这类方程驻波解、基态驻波解、正规化驻波解（Normalized standing waves）的变分刻画、存在性、唯一性、衰减性等基本性质，并对这类方程建立新的爆破准则，进而获得驻波解的轨道稳定性以及强不稳定性。在此基础上，建立能反映和适应这类方程特性的驻波解相关问题的研究框架。这些研究将进一步刻画临界Hardy位势对方程解的性质的影响，对研究这类方程其他问题有很重要的作用。. 本项目为天元数学访问学者项目，将于西北师范大学冯斌华联合申请，并将邀请冯斌华来西安交通大学与其共同探讨解决上述问题。

近年来，带Hardy位势的非线性薛定谔(NLS)方程及其相关模型是数学物理、色散波方程等领域的热点研究课题之一。本项目主要研究Hardy位势与混合多项式非线性结构、分数阶Laplacian结构的相互作用对相应驻波解的存在性、唯一性、轨道稳定性和强不稳定性等动力学性质所产生的影响。所取得的重要结果如下：1) 借鉴Jeanjean等研究四阶NLS方程驻波解强不稳定性的方法，建立了分数阶NLS方程驻波解强不稳定性的研究框架。基于基态解的变分刻画，在基态解的邻域内构造了爆破解的存在性，从而证明了基态驻波解的强不稳定性。另外，针对具有某种尺度不变性的薛定谔方程，我们提出了用爆破散射二分性定理研究驻波解强不稳定性的新方法。2) 研究了带Hardy位势和混合多项式非线性结构的情形，其具有更丰富的性质。在质量超临界和质量次临界混合的情形，通过研究一类特殊的局部极小化问题，证明了轨道稳定的驻波解的存在性。特别地，在能量临界的情形，应用Cazenave-Lions的方法以及构造特殊的局部极小化问题，证明了能量极小化子集合的轨道稳定性，主要困难在于研究基态解附近为初值的解的整体适定性。