两层介质中反散射问题的唯一性理论与数值算法研究

本项目旨在研究两层介质中的声波与电磁波的反散射问题的唯一性理论分析和数值算法。我们的目标是：（1）建立部分远场数据与近场之间的一一对应关系，构造混合交互关系，基于这两个关系，利用基本解的奇异性，证明定义在上半空间的远场数据可以唯一确定埋藏在下半空间中散射体的位置、形状及其物理性质；（2）采用近些年来发展迅速的线性采样方法、分解法等定量方法的思想，研究基本解的奇异性，并由此构造适当的指示函数，依次反演层与层之间界面，散射体位置、形状及其散射体物理性质。针对无界分层介质中反散射问题，则主要研究从部分远场到近场的有效重构方法。根据实际问题需要，设计快速有效地求解反散射问题的数值算法，并利用若干数值例子加以验证。项目的研究成果将对雷达与声纳（扫雷，潜水艇的探测），地球物理勘探（石油，天燃气的探测），无损探伤（裂缝的探测），医学成像（CT）等众多科技工程领域具有重要的指导意义。

本项目旨在研究分层介质中声波与电磁波反散射问题。这一模型来自于很多实际应用，比如说无损探测和雷达成像等。我们在唯一性理论分析和数值算法方面做了大量工作。到目前为止，在本基金支持下，共发表15篇文章，其中2篇发表于SIAM J. Appl. Math, 8篇发表于Inverse Problems, 其余5篇分别发表于Communications in Mathematical Sciences， Applied Numerical Mathematics， Discrete and Continuous Dynamical Systems -- Series S， Mathematical Methods in the Applied Sciences 和Acta Mathematica Scientia。..我们取得的成果可以分为两个部分。.（一）唯一性：我们考虑了可穿透的非均匀障碍在分层介质中的反散射问题，我们证明了不同层之间界面与被埋藏的非均匀障碍的唯一性；我们证明了在点源入射时，如果未知目标是声软球或多面体，则一个测量值就足以唯一反演。利用变分法，我们证明了带有诺依曼和广义阻尼边界条件的粗糙界面散射问题的适定性。.（二）数值算法：我们主要考虑了线性采样法，分解法和牛顿迭代法。其中利用线性采样法考虑了内部腔体反散射问题，分解法处理各向异性非均匀介质的支集的重构、混合型散射体的重构、内部腔体反散射问题，带有广义阻尼边界的反散射问题，带有传导边界的反散射问题，牛顿迭代法则处理分层介质中反散射问题。除此之外，我们还考虑了诺依曼特征值的重构并基于此给出声硬障碍的一种重构算法。..前面提到的成果均已发表。除此之外，我们还考虑了线性采样法在分层介质中反散射问题中的应用。对于无界分层的情形，我们提出了一种直接采样法。